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kuing 发表于 2021-4-19 18:47

讨论组的 `(\cos nx-\cos ny)/(\cos x-\cos y)` 积分

[quote]86鱼  16:24:15
[attach]9606[/attach][/quote]
强烈的分解欲望驱使我撸了以下解法。

首先注意到恒等式
\begin{align*}
\frac{\sin(2k+1)\alpha}{\sin\alpha}&=1+2\cos2\alpha+2\cos4\alpha+\cdots+2\cos2k\alpha,\\
\frac{\sin2k\alpha}{\sin\alpha}&=2\cos\alpha+2\cos3\alpha+\cdots+2\cos(2k-1)\alpha,
\end{align*}其证明只需将 `\sin\alpha` 乘过去再积化和差即可,大家应该都很熟了。

现在回到原题,当 `n` 为奇数时,令 `n=2m+1`,则
\begin{align*}
\frac{\cos(2m+1)x-\cos(2m+1)y}{\cos x-\cos y}
={}&\frac{\sin\frac{(2m+1)(x-y)}2\sin\frac{(2m+1)(x+y)}2}{\sin\frac{x-y}2\sin\frac{x+y}2}\\
={}&\bigl( 1+2\cos(x-y)+2\cos2(x-y)+\cdots+2\cos m(x-y) \bigr)\\
&\times\bigl( 1+2\cos(x+y)+2\cos2(x+y)+\cdots+2\cos m(x+y) \bigr),
\end{align*}然后就要展开了,虽然项数多,但其实除了相同位置项之积以外的对称项的积分之和都是零,理由如下:

对于任意两个不相等的 `k_1`, `k_2\inN`,由
\begin{align*}
&2\cos k_1(x-y)\cos k_2(x+y)+2\cos k_1(x+y)\cos k_2(x-y)\\
={}&\cos\bigl((k_1-k_2)x-(k_1+k_2)y\bigr)+\cos\bigl((k_1+k_2)x-(k_1-k_2)y\bigr)\\
&+\cos\bigl((k_1-k_2)x+(k_1+k_2)y\bigr)+\cos\bigl((k_1+k_2)x+(k_1-k_2)y\bigr)\\
={}&2\cos(k_1-k_2)x\cos(k_1+k_2)y+2\cos(k_1+k_2)x\cos(k_1-k_2)y,
\end{align*}得到
\[\int_0^\pi\cos k_1(x-y)\cos k_2(x+y)+\cos k_1(x+y)\cos k_2(x-y)\rmd x=0,\]所以展开后只剩下 `1` 和 `4\cos k(x-y)\cos k(x+y)`(`k\inN^+`)的积分需要算,而
\[\int_0^\pi\cos k(x-y)\cos k(x+y)\rmd x=\frac12\int_0^\pi\cos2kx+\cos2ky\rmd x=\frac\pi2\cos2ky,\]所以
\[I_{2m+1}=\pi(1+2\cos2y+2\cos4y+\cdots+2\cos2my)=\pi\frac{\sin(2m+1)y}{\sin y}.\]
`n` 为偶数的情况道理一样,不再叙述。

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