2009年美数月的一道极限征解题
\[ \displaystyle\color{black}{\lim\limits_{n\to+\infty}n\prod\limits_{k=1}^{n}\left(1-\dfrac{1}{k}+\dfrac{5}{4k^2}\right)=\dfrac{\cosh(\pi)}{\pi}} \] [i=s] 本帖最后由 abababa 于 2020-11-27 13:24 编辑 [/i][b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=37609&ptid=7516]1#[/url] [i]青青子衿[/i] [/b]
\[
\begin{aligned}
\prod_{k=1}^{n}\left(1-\frac{1}{k}+\frac{5}{4k^2}\right) &= \frac{\prod_{k=1}^{n}(k+\frac{-1-2i}{2})\prod_{k=1}^{n}(k+\frac{-1+2i}{2})}{\prod_{k=1}^{n}k\prod_{k=1}^{n}k}\\
&=\frac{1}{n! \cdot n!}\cdot \left[\frac{n!n^{(-1-2i)/2}}{\Gamma(\frac{-1-2i}{2}+1)} \cdot \frac{n!n^{(-1+2i)/2}}{\Gamma(\frac{-1+2i}{2}+1)}\right]\\
&=\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{\Gamma(\frac{1-2i}{2})\Gamma(\frac{1+2i}{2})}\\
&= \frac{1}{n} \cdot \frac{\sin(\pi\cdot\frac{1-2i}{2})}{\pi}\\
&= \frac{1}{n} \cdot \frac{\cos(i\pi)}{\pi}
\end{aligned}
\]
是不是我哪步系数又弄错了？我明白了，第一步就错了{:sweat:} ，把i的系数变成2就对了。
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