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abababa 发表于 2020-9-27 14:46

$\frac{\sin(kx)}{k(k+\sin(kx))}$是否收敛,有没有闭式表达式

如题,当$n\to\infty$时,下面极限是否存在,是否有闭式表达?
\[\lim_{n\to\infty}\sum_{k=2}^{n}\frac{\sin(kx)}{k(k+\sin(kx))}\]

我只能大致估计出范围($-1<A<\frac{1}{2}$),但因为不单调,证明不了存在,也没能求出闭式解。

zhcosin 发表于 2020-9-27 18:59

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=37232&ptid=7436]1#[/url] [i]abababa[/i] [/b]
\[ \left| \frac{\sin{nx}}{n(n+\sin{nx})} \right| <= \frac{1}{n(n+1)} \]
后者收敛,所以前者也收敛。
至于收敛到多少,俺也不会。

青青子衿 发表于 2020-10-30 15:42

关于敛散性的问题,这道题看起来像2017年南开大学数学分析最后一题
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