无法分离参数 如何是好？
[i=s] 本帖最后由 facebooker 于 2019-8-18 22:24 编辑 [/i]对$\forall x∈(0,1]$都有$a\sqrt{2x^2+2}+\frac{4}{ax-a-2}\geqslant 2a-2$恒成立,求实数$a$的取值范围 有没有抄错题？因为我只能得出 a=0 [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=33417&ptid=6507]2#[/url] [i]kuing[/i] [/b]
抱歉 大佬 这次题目对了。看看怎么搞？出题者只是提示两个字： 硬撸。 [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=33418&ptid=6507]3#[/url] [i]facebooker[/i] [/b]
貌似也不需要怎么硬吧，软也能搞。
还是有点类似于上次这帖 [url]http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=6215[/url]，所以用的方法也类似。
令 `f(x)=\text{左边}-\text{右边}`，易知 `f(1)=f'(1)=0`，所以必须 `f''(1)\geqslant0`，由此可得 `0\leqslant a\leqslant1/2`，这是必要性，下面证明它是充分的。
当 `0\leqslant a\leqslant1/2` 时，将 `f(x)` 的 `x` 视为常数，对 `a` 求二阶导数，得
\[\bigl( f(x) \bigr)''_a=-\frac{8(x-1)^2}{(2+a-ax)^3}\leqslant0,\]可见关于 `a` 是上凸的，因此只需证明当 `a=0` 以及 `a=1/2` 时均满足题意即可，显然 `a=0` 时 `f(x)` 恒为零，故剩下 `a=1/2` 时，此时
\[f(x)=\sqrt{\frac{x^2+1}2}+\frac8{x-5}+1,\]而
\[\frac{x^2+1}2-\left(\frac8{x-5}+1\right)^2=\frac{(x-7)(x-1)^3}{2(x-5)^2}\geqslant0,\]从而得证。 [quote]回复 kuing
抱歉 大佬 这次题目对了。看看怎么搞？出题者只是提示两个字： 硬撸。 ...
[size=2][color=#999999]facebooker 发表于 2019-8-18 22:25[/color] [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=33418&ptid=6507][img]http://kuing.orzweb.net/images/common/back.gif[/img][/url][/size][/quote]
果然，强撸还是有用的（约掉零因子），实际上，只要你撸起袖子加油干，就会发现有不少奇迹等着你！最后的奇迹就是，你以为不能分离参数的，实际上却是可以分离参数的！ 这儿有一道题。看看怎么证明？：
[attach]7730[/attach] [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=33445&ptid=6507]6#[/url] [i]其妙[/i] [/b]
与楼主的题有关吗？无关的话建议开新帖。 [quote]回复 其妙
与楼主的题有关吗？无关的话建议开新帖。
[size=2][color=#999999]kuing 发表于 2019-8-21 17:59[/color] [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=33447&ptid=6507][img]http://kuing.orzweb.net/images/common/back.gif[/img][/url][/size][/quote]
和你的解题中提到的有些关系 某人做的[img]http://kuing.orzweb.net/attachments/month_1309/1309021709bf9f48459392402d.gif[/img]（怎么形容呢？）
[attach]7738[/attach] 这里也有一个似乎不好分离参数来做的题目：
[attach]7739[/attach]
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