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lemondian 发表于 2019-8-16 13:54

两道三角求最值题

两道三角求最值题
1.求函数$f(x)=5cos2x+18sinx+8cosx$的最大值。
2.在$△ABC$中，求$P=sinA+sinB+\sqrt{6}sinC $的最大值。

青青子衿 发表于 2019-8-16 13:59

第二题，「嵌入不等式」伺候！

kuing 发表于 2019-8-16 14:00

[quote]第二题，「嵌入不等式」伺候！
[size=2][color=#999999]青青子衿 发表于 2019-8-16 13:59[/color] [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=33378&ptid=6498][img]http://kuing.orzweb.net/images/common/back.gif[/img][/url][/size][/quote]有两个系数相同，和差化积就成，何必使用牛刀？

kuing 发表于 2019-8-16 14:05

第二题：O(∩_∩)O哈！搜索了一下发现，楼主在去年的[b]同一天[/b]（太巧了吧{:lol:}）就问过同类的题：
[url]http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=5538[/url]

kuing 发表于 2019-8-16 16:13

1、记 `t=\cos x`，待定正数 `u`，有
\begin{align*}
f(x)&\leqslant5(2t^2-1)+18\sqrt{1-t^2}+8t\\
&\leqslant5(2t^2-1)+\frac9u(u^2+1-t^2)+8t\\
&=\left( 10-\frac9u \right)t^2+8t+9u+\frac9u-5,
\end{align*}于是应令
\[\led
t&=-\frac4{10-\frac9u},\\
u^2&=1-t^2,
\endled\]可以预见，如果直接代入消元必将出现四次方程，也就是说，这道题如果系数随便写，就会没法做，故此原题的数据必然经过设计（其实有经验的一看就猜到那些数字不是随便给的），亦即此方程组必然有简单解，所以此处更适宜去目测，由 `t^2+u^2=1` 可尝试勾股数，一试即知简单解是 `t=4/5`, `u=3/5`。

心中有数后，扔掉待定的过程，重写装逼过程如下：
\[f(x)=\frac{93}5-\frac35(5\sin x-3)^2-\frac15(5\cos x-4)^2\leqslant\frac{93}5,\]当 `x=\arctan(3/4)` 时取等。

kuing 发表于 2019-8-16 16:37

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=33382&ptid=6498]5#[/url] [i]kuing[/i] [/b]

续：反之也可以看出，命制此类题其实也很容易，比如我另取一组勾股数 5, 12, 13，再随便搭配个简单的系数，就构造出另一题：求 `13\cos2x+40\sin x+48\cos x` 的最大值。

带根号也行，比如：求 `\cos2x+4\sin x+2\sqrt3\cos x` 的最大值。（你应该能猜出我用了啥数来构造吧？{:lol:}

lemondian 发表于 2019-8-16 19:07

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=33380&ptid=6498]4#[/url] [i]kuing[/i] [/b]
呵呵，神呀！我不记得这个了

lemondian 发表于 2019-8-16 19:44

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=33379&ptid=6498]3#[/url] [i]kuing[/i] [/b]
第2题的答案是多少呢？

kuing 发表于 2019-8-16 20:13

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=33389&ptid=6498]8#[/url] [i]lemondian[/i] [/b]

方法看那链接，计算请自行完成。

lemondian 发表于 2019-8-16 22:08

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=33378&ptid=6498]2#[/url] [i]青青子衿[/i] [/b]

嵌入不等式如何搞？写一发吧{:titter:}

lemondian 发表于 2019-8-16 22:09

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=33390&ptid=6498]9#[/url] [i]kuing[/i] [/b]
我算得是$\dfrac{5\sqrt{10}}{4}$,不知是否对？没啥信心

lemondian 发表于 2019-8-16 22:46

看看这个做法，对不对？
[attach]7715[/attach]

其妙 发表于 2019-8-21 17:58

第一题，还可以做代换x到x-pi/4（左右平移不改变值域），转化为kuing早就研究非常透的一道题了

山川浮云 发表于 2020-3-3 22:49

[i=s] 本帖最后由 山川浮云 于 2020-3-3 22:55 编辑 [/i]

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=33384&ptid=6498]6#[/url] [i]kuing[/i] [/b]

下面的题和他同源，但用不来你那方法，求指导
求函数$f(x)=2\sin x+\cos x+\sin x\cos x+1的最大和最小值.$
有解决此类问题的专题吗？分享一下{:tongue:}

kuing 发表于 2020-3-4 01:25

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=35156&ptid=6498]14#[/url] [i]山川浮云[/i] [/b]

最小值简单：`f(x)=(1+\sin x)(2+\cos x)-1\ge-1`；
然而最大值却没简单解，扔掉吧……

山川浮云 发表于 2020-3-4 09:16

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=35157&ptid=6498]15#[/url] [i]kuing[/i] [/b]

就说嘛，万能公式后求导成了根不可手算的题，估计是给人挖坑而多加一问。不过没结果也算是一种结果

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