求证一个三角恒等式
证明：对于每一个实数$x$，均有$cos^3\dfrac{x}{3}+cos^3\dfrac{x+2\pi}{3}+cos^3\dfrac{x+4\pi}{3}=\dfrac{3}{4}cosx$。 我之前在 [url]http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=5332[/url] 里已经对有此类恒等式给出了一般推广。不过我估计你不会有耐心看完所有内容，所以如果只想知道你问的那个怎么证，可以只看帖中的 6#，此式属于 6# 后面当 `m=n` 为奇数的 `T_{n,n}(\theta)` 的结论。 [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=33281&ptid=6476]2#[/url] [i]kuing[/i] [/b]
在慢慢看，对我来说，是比较难了。
一方面是欧拉公式及二项式定理结合基本没接触过，二是我对kuing的帖中记号看得好困难。
能不能就6#的m=n详细写一些过程？谢谢！
就是此处：[attach]7696[/attach] [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=33287&ptid=6476]3#[/url] [i]lemondian[/i] [/b]
看得困难那就算了，就 1# 的题用三倍角公式就很简单：
\begin{align*}
\cos^3\theta&=\frac34\cos\theta+\frac14\cos3\theta,\\
\cos^3\left( \theta+\frac{2\pi}3 \right)&=\frac34\cos\left( \theta+\frac{2\pi}3 \right)+\frac14\cos(3\theta+2\pi)=\frac34\cos\left( \theta+\frac{2\pi}3 \right)+\frac14\cos3\theta,\\
\cos^3\left( \theta+\frac{4\pi}3 \right)&=\frac34\cos\left( \theta+\frac{4\pi}3 \right)+\frac14\cos(3\theta+4\pi)=\frac34\cos\left( \theta-\frac{2\pi}3 \right)+\frac14\cos3\theta,
\end{align*}易证
\[\cos\theta+\cos\left( \theta+\frac{2\pi}3 \right)+\cos\left( \theta-\frac{2\pi}3 \right)=0,\]从而上述三式相加即得证。 [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=33289&ptid=6476]4#[/url] [i]kuing[/i] [/b]
我也用三倍角公式证到了，写得没你清晰。
但你的推广太好了，想认真学习下，所以想你写一下这个推理过程。 对于每一个实数$x$，均有$sin^3\dfrac{x}{3}+sin^3\dfrac{x+2\pi}{3}+sin^3\dfrac{x+4\pi}{3}=-\dfrac{3}{4}sinx$。
问题（1）：这个能推广不？
（2）正切的有不？ [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=33291&ptid=6476]6#[/url] [i]lemondian[/i] [/b]
（1）我那个擦，作置换 `\theta\to\theta+\pi/2` 不就一样了吗。。。。。。
（2）tan 有空再试。 [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=33293&ptid=6476]7#[/url] [i]kuing[/i] [/b]
正弦的那个，似懂非懂，写不好两个表达式！{:cry:}
kuing，麻烦您写出完整的正弦恒等式呗（奇，偶的），谢谢！ 记 `t=\tan(3\theta)`，有
\begin{align*}
\tan\theta+\tan\left( \theta+\frac{2\pi}3 \right)+\tan\left( \theta+\frac{4\pi}3 \right)&=3t,\\
\tan^2\theta+\tan^2\left( \theta+\frac{2\pi}3 \right)+\tan^2\left( \theta+\frac{4\pi}3 \right)&=(3t)^2+6,\\
\tan^3\theta+\tan^3\left( \theta+\frac{2\pi}3 \right)+\tan^3\left( \theta+\frac{4\pi}3 \right)&=(3t)^3+24t,\\
\tan^4\theta+\tan^4\left( \theta+\frac{2\pi}3 \right)+\tan^4\left( \theta+\frac{4\pi}3 \right)&=(3t)^4+96t^2+18,\\
\tan^5\theta+\tan^5\left( \theta+\frac{2\pi}3 \right)+\tan^5\left( \theta+\frac{4\pi}3 \right)&=(3t)^5+360t^3+120t,\\
\tan^6\theta+\tan^6\left( \theta+\frac{2\pi}3 \right)+\tan^6\left( \theta+\frac{4\pi}3 \right)&=(3t)^6+1296t^4+624t^2+54,\\
\tan^7\theta+\tan^7\left( \theta+\frac{2\pi}3 \right)+\tan^7\left( \theta+\frac{4\pi}3 \right)&=(3t)^7+4536t^5+2856t^3+504t,\\
\tan^8\theta+\tan^8\left( \theta+\frac{2\pi}3 \right)+\tan^8\left( \theta+\frac{4\pi}3 \right)&=(3t)^8+15552t^6+12096t^4+3264t^2+162,
\end{align*}
那些系数还观察不出啥规律啊[img]https://qzonestyle.gtimg.cn/qzone/em/e400824.gif[/img][img]https://qzonestyle.gtimg.cn/qzone/em/e400824.gif[/img][img]https://qzonestyle.gtimg.cn/qzone/em/e400824.gif[/img] [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=33297&ptid=6476]9#[/url] [i]kuing[/i] [/b]
这都能算出来~ [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=33298&ptid=6476]10#[/url] [i]isee[/i] [/b]
MMC(A) 辅助啊{:lol:} kuing在6#的那个我写不出来{:cry:} [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=33309&ptid=6476]12#[/url] [i]lemondian[/i] [/b]
7#的意思是把1#的$x$替换为$x+\pi/2$，诱导公式一下，立刻就是6#的结论了。 [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=33311&ptid=6476]13#[/url] [i]isee[/i] [/b]
我说的是我写的 `\theta`，如果是 1# 换，是 `x/3 \to x/3+\pi/2`。 [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=33312&ptid=6476]14#[/url] [i]kuing[/i] [/b]
我这个错误太致命了，引起阅读理解错误，抱歉了 我怎么写不来呢？哪里出问题了{:cry:}。
其实我是想得到正弦象2#那样的一般结论及详细的证明过程 这个结论对不？
[attach]7710[/attach] [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=33363&ptid=6476]17#[/url] [i]lemondian[/i] [/b]
偶数错。。。[捂脸]。。。
就是用一下诱导公式这么简单的事情，三日才写对一半。。。我。。。。。。 这个对了吗？
[attach]7711[/attach] 对了。 数学装逼神器——高端三角恒等变换
[url]https://zhuanlan.zhihu.com/p/161360664[/url]
[attach]8933[/attach]
页:
[1]