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kuing 发表于 2019-8-7 14:07

`a_n=1+\ln a_{n+1}`,前19项之积

[attach]7667[/attach]
以前好像见过类似的题,一时没搜到……
码:
已知数列 $\an$ 满足 `a_1=1/2`, `a_n=1+\ln a_{n+1}`, $n\inN^+$,
设 `T_n` 为数列 $\an$ 的前 `n` 项之积,则 `T_{19}\in`
A. `(0,1/20]`    B. `(1/20,1/10]`    C. `(1/10,1/5]`    D. `(1/5,1)`

kuing 发表于 2019-8-7 15:06

呐,这里也有个对数递推:[url]http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=4046[/url]

facebooker 发表于 2019-8-7 18:29

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=33141&ptid=6451]1#[/url] [i]kuing[/i] [/b]

7月的上虞期末考试题 咋做啊大佬?

kuing 发表于 2019-8-7 23:26

受 2# 链接的启发,用数归证明 `a_n\leqslant n/(n+1)`,且当 `n>1` 时不取等号。

`n=1` 成立,假设 `n=k` 成立,则当 `n=k+1` 时
\[\ln a_{k+1}=a_k-1\leqslant\frac k{k+1}-1=-\frac1{k+1},\]于是只需证
\[-\frac1{k+1}<\ln\frac{k+1}{k+2},\]即
\[\frac1{k+1}>\ln\frac{k+2}{k+1}=\ln\left( 1+\frac1{k+1} \right),\]显然成立,即得证。

由此得到
\[T_{19}<\prod_{k=1}^{19}\frac k{k+1}=\frac1{20},\]所以只有 A。

敬畏数学 发表于 2019-8-10 18:13

好像哪里见过此题,但一时想不起。

facebooker 发表于 2019-8-10 18:55

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=33268&ptid=6451]5#[/url] [i]敬畏数学[/i] [/b]

2019浙江省上虞高二下学期期末考试题

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