Ceva三角形的性质征解
(1)△$A_1B_1C_1$是△ABC关于$P_1$的Ceva三角形,$A_2B_2C_2$是△$A_1B_1C_1$关于$P_2$的Ceva三角形,则$AA_2,BB_2,CC_2$共点[attach]7652[/attach]
(2)以A,B,C为圆心,过P作圆$c_1,c_2,c_3$,以BC,CA,AB为弦,过P作圆$d_1,d_2,d_3$,$d_1,d_2,d_3$关于BC,CA,AB对称到$e_1,e_2,e_3$,则
Ⅰ$e_1,e_2,e_3$共点M,由它看三边的视角与P相反,不妨称为"负角共轭点"(我自己瞎命名的。如果有正式名称立即修改)
Ⅱ$c_2,c_3,e_1$共点$D_1$,$c_3,c_1,e_2$共点$D_2$,$c_1,c_2,e_3$共点$D_3$
Ⅲ$AP,c_2,e_3$共点$E_1$,$BP,c_3,e_1$共点$E_2$,$CP,c_1,e_2$共点$E_3$
Ⅳ$AP,c_3,e_2$共点$F_1$,$BP,c_1,e_3$共点$F_2$,$CP,c_2,e_1$共点$F_3$
Ⅴ过$D_1,D_2,D_3$作圆$P'$，则P'是P的等角共轭点
Ⅵ圆$P'$（图中为虚线）通过点M
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这是关于Ceva三角形的一般性质。把它们用于三角形的任何特征点都是合适的。相较之下，这些问题的难度不算高，通常导角就行。但图形繁琐，注意到对称性就不会看晕。如果用反演做会大大简化。{:dizzy:}
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我上传了附件。网友可以省去作图直接研究证法。 [i=s] 本帖最后由 hbghlyj 于 2019-8-21 16:07 编辑 [/i]
(3)给定$\triangle ABC$与一点P.设$\triangle DEF$为P关于三角形ABC的塞瓦三角形且$\bigodot DEF$与BC再交于X.O为$\triangle ABC$的外心，T为$\triangle DEF$的垂心.设X'为X关于EF的对称点.证明: AX', BC, OT共点
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