证明$a^5+b^5+c^5\geqslant abc(a^2+b^2+c^2)$
正实数$a,b,c$，求证$a^5+b^5+c^5\geqslant abc(a^2+b^2+c^2)$. 不是吧……这还用问？简直随便证啊…… [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=31934&ptid=6206]2#[/url] [i]kuing[/i] [/b]这肯定入不了你的法眼啦~ [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=31935&ptid=6206]3#[/url] [i]isee[/i] [/b]
给个加强你玩玩好抱？{:lol:}\[abc(a^2+b^2+c^2)\leqslant\frac{(a+b+c)^5}{81}.\]这其实也不难喔{:tongue:} 更加一点的话：
\[abc(a^2+b^2+c^2)\leqslant\frac{(b+c)(c+a)(a+b)(a+b+c)^2}{24}.\]这个就有点难度了。
注：以上两个都能在《撸题集》里找到。 [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=31936&ptid=6206]4#[/url] [i]kuing[/i] [/b]
实话说，主楼那道 我就算了好久还没绕出来呢。。。。歇会，先。。。。 [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=31939&ptid=6206]6#[/url] [i]isee[/i] [/b]
切比雪夫不等式了不了解？
不了解的话，排序不等式了不了解？
再不，那将原不等式写成这样你还会不会？：`\frac{a^4}{bc}+\frac{b^4}{ca}+\frac{c^4}{ab}\ge a^2+b^2+c^2` 真的随便都能证。$ \frac{a^4}{bc}+\frac{b^4}{ac}+\frac{c^4}{ab} \geqslant \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{bc+ac+ab}$，又$ a^2+b^2+c^2\geqslant ab+bc+ac $完毕。 似乎昨天那个也是闭眼睛瞎证也得全分。 [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=31933&ptid=6206]1#[/url] [i]isee[/i] [/b]
kuing懒得写，我来练练笔，好久没做题了，
已知$a$，$b$，$c>0$，求证：$a^5+b^5+c^5\geqslant abc(a^2+b^2+c^2)$.
证明：$a^5+b^5+c^5=\dfrac{a^4}{\dfrac1a}+\dfrac{b^4}{\dfrac1b}+\dfrac{c^4}{\dfrac1c}\geqslant\dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c}=\dfrac{abc(a^2+b^2+c^2)^2}{bc+ca+ab}\geqslant abc(a^2+b^2+c^2)
$ [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=31943&ptid=6206]8#[/url] [i]敬畏数学[/i] [/b]
与7#同时哇。。。
学习了，谢谢。
[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=31947&ptid=6206]10#[/url] [i]其妙[/i] [/b]
这变形方法，受教了，继续4#。 [i=s] 本帖最后由 yao4015 于 2019-6-10 11:00 编辑 [/i]
算术-几何平均
\begin{align}
x^5+x^5+x^5+y^5+z^5\geq 5\sqrt[5]{x^{15}y^5z^5}=5x^3yz\\
y^5+y^5+y^5+x^5+z^5\geq 5\sqrt[5]{y^{15}x^5z^5}=5y^3xz\\
z^5+z^5+z^5+x^5+y^5\geq 5\sqrt[5]{z^{15}x^5y^5}=5z^3xy
\end{align}
三式相加除以$5$, 完事.
另外, 高考那个 $23$ 题, 哪个出的 ? 这个可以试试
$$abc(a^2+b^2+c^2)\leq \frac{(a^2b+b^2c+c^2a)(a+b+c)^2}{9}$$ [i=s] 本帖最后由 isee 于 2019-6-16 16:33 编辑 [/i]
[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=31942&ptid=6206]7#[/url] [i]kuing[/i] [/b]
知道排序不等式，但没用过。
今天温习了一下，用排序不等式，是这个意思？
不妨设$a\leqslant b\leqslant c$，则$$a^4\leqslant b^4\leqslant c^4,\frac 1{bc}\leqslant \frac 1{ac}\leqslant \frac 1{ab},\cdots$$由排序不等式$$\frac {a^4}{bc}+\frac {b^4}{ac}+\frac {c^4}{ab}\geqslant \frac {a^3}b+\frac {b^3}c+\frac {c^3}a\geqslant a^2+b^2+c^2.$$ [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=32090&ptid=6206]14#[/url] [i]isee[/i] [/b]
可以。
不过我的意思其实是 `\{a^3,b^3,c^3\}` 与 `\{a^2,b^2,c^2\}` 同序，由同序和 `\ge` 乱序和，
得 `a^5+b^5+c^5\ge a^3b^2+b^3c^2+c^3a^2` 以及 `a^5+b^5+c^5\ge a^3c^2+b^3a^2+c^3b^2`，
相加得 `2(a^5+b^5+c^5)\ge a^3(b^2+c^2)+b^3(c^2+a^2)+c^3(a^2+b^2)\ge2abc(a^2+b^2+c^2)`。 [i=s] 本帖最后由 isee 于 2019-6-16 17:38 编辑 [/i]
[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=31942&ptid=6206]7#[/url] [i]kuing[/i] [/b]
chebyshev不等式，查了下，这个样子吧。
设$a\leqslant b\leqslant c$，则由chebyshev不等式有：
$$3(a^5+b^5+c^5)\geqslant (a^3+b^3+c^3)(a^2+b^2+c^2)\geqslant 3abc(a^2+b^2+c^2).$$
这么一看，难怪第一反应是chebyshev不等式。 [quote]这个可以试试
$$abc(a^2+b^2+c^2)\leq \frac{(a^2b+b^2c+c^2a)(a+b+c)^2}{9}$$
[size=2][color=#999999]血狼王 发表于 2019-6-10 11:57[/color] [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=32008&ptid=6206][img]http://kuing.orzweb.net/images/common/back.gif[/img][/url][/size][/quote]突然发现这个就是《撸题集》P.948 开头的那个不等式…… [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=33429&ptid=6206]17#[/url] [i]kuing[/i] [/b]
是吗？{:sweat:}
我早该想到这个前人已经出过了
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