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力工 发表于 2019-4-22 20:40

一道最大值的最小值问题与一道整数解问题

我来码,顺便加道题。{:titter:}
题目1:已知函数$f(x)=x^3 +ax+b$定义域为$[−1,2]$,记$\abs{f(x)}$的最大值为$M$,
则$M$的最小值为______.
题目2:已知函数$f(x)=e^x(x-1)$,若关于$x$的方程$\abs{f(x)-a}+\abs{f(x)-a-1}=1$
有且仅有两个不同的整数解,则实数$a$的取值范围为______.

isee 发表于 2019-4-22 21:51

题目2的绝对值是多余的,就是$a<f(x)<a+1$,至于$a$的范围,还没想

走走看看 发表于 2019-4-22 22:23

很好!等着欣赏您的节目。

走走看看 发表于 2019-4-23 08:59

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=30973&ptid=6041]2#[/url] [i]isee[/i] [/b]

我觉得出题人的本意也就是考察学生是否能正确理解|f(x)-a|+|f(x)-a-1|=1。题目改成别的说法,恐怕就难达到考察目的了。

力工 发表于 2019-4-23 13:27

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=30973&ptid=6041]2#[/url] [i]isee[/i] [/b]
强!一眼看穿了。这样子就方便了。

kuing 发表于 2019-4-23 14:02

[quote]题目2的绝对值是多余的,就是$a<f(x)<a+1$,至于$a$的范围,还没想
[size=2][color=#999999]isee 发表于 2019-4-22 21:51[/color] [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=30973&ptid=6041][img]http://kuing.orzweb.net/images/common/back.gif[/img][/url][/size][/quote]漏了等号啦……都第二天了,怎么还没想……
其实不是很难,就是表达起来比较麻烦,所以的确很适合作为填空题……

变成 `a\leqslant f(x)\leqslant a+1` 后,设 $A=\{f(k)\mid k\inZ\}$,则原方程有且仅有两个整数解 `\iff A\cap[a,a+1]` 有且仅有两个元素,于是只需把 `A` 的元素由小到大排列出来,就能判断何时 `[a,a+1]` 恰能框住两个。

因为 `k\leqslant0` 时负,`k\geqslant1` 时非负,先排负的部分,求导得 `f'(x)=xe^x`,所以由小到大排列就是 `\{f(0),f(-1),f(-2),\ldots\}`,非负的部分则是 `\{f(1),f(2),f(3),\ldots\}`,所以 `A=\{-1,-2/e,-3/e^2,\ldots,0,e^2,2e^3,\ldots\}`。

显然在 `0` 之后的相邻元素之差都大于 `1`,所以 `a\geqslant0` 时不符合;
而在 `0` 之前趋向 `0`,所以任意 $(-\veps,0)$ 内都包含 `A` 的无穷个元素,所以 `-1\leqslant a<0` 时都不符合;
当 `a<-1` 时,显然只需 `-2/e\leqslant a+1<-3/e^2`,即 `a\in[-2/e-1,-3/e^2-1)`。

isee 发表于 2019-4-23 23:58

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=30980&ptid=6041]6#[/url] [i]kuing[/i] [/b]

还真是把[color=Red]等号给漏[/color]了。其实想了,画个图就差不多了,具体值到底是$f$几就没管了,哈哈哈

敬畏数学 发表于 2019-4-24 10:37

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=30980&ptid=6041]6#[/url] [i]kuing[/i] [/b]
确实严密叙述有点难度。

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