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isee 发表于 2019-4-13 11:13

正三角形中求线段长

正三角形$ABC$,如图,$D$在$AB$上,$E$在$AC$上,满足$AD=EC$,若$AF\perp DE$交$BC$于$F$,四边形$ADFE$的面积为$\sqrt 3$,求$DE$的长。

战巡 发表于 2019-4-13 12:28

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=30796&ptid=6018]1#[/url] [i]isee[/i] [/b]

令$∠BAF=x, ∠CAF=y,AB=AC=BC=a$

由张角公式得
\[\frac{\sin(∠BAF)}{AC}+\frac{\sin(∠CAF)}{AB}=\frac{\sin(∠BAC)}{AF}\]

\[\frac{\sin(x)+\sin(y)}{a}=\frac{\sin(60°)}{AF}\]

另一方面显然$\sin(∠ADE)=\cos(x),\sin(∠AED)=\cos(y)$,由正弦定理
\[\frac{\cos(x)}{AE}=\frac{\cos(y)}{AD}=\frac{\sin(∠DAE)}{DE}=\frac{\cos(x)+\cos(y)}{AE+AD}=\frac{\cos(x)+\cos(y)}{a}\]
以上两式相除得
\[\frac{\sin(x)+\sin(y)}{\cos(x)+\cos(y)}=\frac{DE}{AF}\]
\[\frac{2\sin(\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2})}{2\cos(\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2})}=\frac{DE}{AF}=\tan(30°)=\frac{1}{\sqrt{3}}\]

再加上$S_{ADFE}=\frac{1}{2}DE·AF=\sqrt{3}$,可得$DE=\sqrt{2}$

乌贼 发表于 2019-4-13 13:45

[i=s] 本帖最后由 乌贼 于 2019-4-13 15:41 编辑 [/i]

[attach]7156[/attach]
作$BP\perp BC,DP\px AC  $,则$ DB=DP=EC $,$ DPAE $为平行四边形,
$ AFBP $四点共园,有\[ AP=DE,\angle AFP=30\du ,AF=\sqrt{3}DE ,DE=\sqrt{2}\]

isee 发表于 2019-4-13 14:12

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=30798&ptid=6018]2#[/url] [i]战巡[/i] [/b]

THX

我也差不多,不过,是用余弦定理,面积,及$AE^2-AD^2=EF^2-DF^2$硬算得也是$$DE=\sqrt 2.$$

isee 发表于 2019-4-13 15:43

[quote]$ AFBP $四点共园,有\[ AP=DE,\angle AFP=30\du ,AF=\sqrt{3}DE ,DE=\sqrt{2}\]
[size=2][color=#999999]乌贼 发表于 2019-4-13 13:45[/color] [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=30800&ptid=6018][img]http://kuing.orzweb.net/images/common/back.gif[/img][/url][/size][/quote]


这辅助线,一眼没看懂,也真没细看。不过,受其启发,只提出四点共圆,先构造平行边形ADEG,再证$\angle HGC=\angle AFC$,就有四点共圆了。

isee 发表于 2019-4-13 23:50

[quote]回复  isee

令$∠BAF=x, ∠CAF=y,AB=AC=BC=a$

由张角公式得
\[\frac{\sin(∠BAF)}{AC}+\frac{\sin(∠CA ...
[size=2][color=#999999]战巡 发表于 2019-4-13 12:28[/color] [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=30798&ptid=6018][img]http://kuing.orzweb.net/images/common/back.gif[/img][/url][/size][/quote]

赞,现在才学习完,比我用余弦定理硬算简了不知多少倍。
好解!

isee 发表于 2019-4-13 23:52

[quote]作$BP\perp BC,DP\px AC  $,则$ DB=DP=EC $,$ DPAE $为平行四边形,
$ AFBP $四点共园,有\[ AP=DE,\ang ...
[size=2][color=#999999]乌贼 发表于 2019-4-13 13:45[/color] [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=30800&ptid=6018][img]http://kuing.orzweb.net/images/common/back.gif[/img][/url][/size][/quote]

换图了咯,现在的辅助线就顺眼多了,很厉害的入手,直接共圆。

我虽然是受其启发,但是方向大不一样,是等线段平移,虽然共圆也可以借用你的两直角来简化。


不知有没更简洁的辅助线,这是出现在一张中考模拟卷中的最后一个填空题,应该是竞赛中最简单的题。

乌贼 发表于 2019-4-14 05:05

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=30814&ptid=6018]7#[/url] [i]isee[/i] [/b]
如果不用共园。
如图:[attach]7158[/attach]
取$ BC $中点$ M $,作$ DN\px AC $交$ AM $于$ N $,有\[ \angle DAN=\angle DNA=30\du \\DA=DN=EC \]$则 DECN $为平行四边形,有\[ DE=CN\\CN\perp AF \]即\[ \triangle AMF\sim CMN\riff \dfrac{DE}{AF}=\dfrac{CN}{AF}=\dfrac{AM}{CM}=\dfrac{\sqrt{3}}{3} \]

isee 发表于 2019-4-14 07:48

[i=s] 本帖最后由 isee 于 2019-4-14 08:52 编辑 [/i]

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=30815&ptid=6018]8#[/url] [i]乌贼[/i] [/b]


    真早,这其实本质相同,平移线段,另外有笔误,主要是,“AM/CM”,比反了

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