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敬畏数学 发表于 2019-4-9 08:57

四边形中三角形面积的最大值

平面凸四边形ABCD中,AB=1,BC=2,ACD为等腰直角三角形,AD=CD,则三角形BCD面积的最大值_______。

huing 发表于 2019-4-9 11:58

[attach]7138[/attach]
如图,我们保持边 BC 水平固定,顶点 A 就在一个半圆弧上滑动(实际上要保持凸四边形,A不能跑遍半圆弧,从$A_2$起的一小段弧不能到达)。
当 A 滑动至 $A_1,A_2$, D 分别处于 $D_1,D_2$。在滑动过程中,保持两个等腰三角形 $\triangle A_2D_2C\sim\triangle ADC$, 故同时亦保持 $\triangle A_2AC\sim\triangle D_2DC$所以 D 的轨迹是 A 点所在半圆弧绕 C 点旋转 $-45\du$ 加缩放$\frac1{\sqrt2}$所得的圆弧。
显然,当 D 处于其所在圆弧的上顶点时,$S_{\triangle BCD}$取得最大值 $1+\frac{\sqrt2}2$.

敬畏数学 发表于 2019-4-9 13:48

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谢谢。能否解析法求出点D?

huing 发表于 2019-4-9 14:46

显然上顶点为驻点,初画出来以为$\triangle BCD$是个正三角形,结果为$\sqrt3=1.732……$,与正确结果 1.707…… 确实比较接近. 填空题一犯懒图快的话就填上去了。

huing 发表于 2019-4-9 15:15

[i=s] 本帖最后由 huing 于 2019-4-9 15:52 编辑 [/i]

解析法可以做吧。你看下面是否属于解析法?
原点设在B,置 C 于(2,0), 设A为 $(\cos\theta,\sin\theta)$,则 AC 中点为$\left(1+\frac12\cos\theta,\frac12\sin\theta\right)$,
D 可视为 C 绕 该中点旋转 $90\du$ 的位置,坐标为$$
\left(1+\frac12\cos\theta,\frac12\sin\theta\right)+\left(\frac12\sin\theta,1-\frac12\cos\theta\right)=\left(1+\frac12\cos\theta+\frac12\sin\theta,1-\frac12\cos\theta+\frac12\sin\theta\right)
$$显然有$$
S_{\triangle BCD}=y_D=1-\frac12\cos\theta+\frac12\sin\theta
$$易得最大值为$1+\frac1{\sqrt2}$.

乌贼 发表于 2019-4-10 03:18

如图:[attach]7146[/attach]
作直角等腰$ \triangle BCE,\angle BEC=90\du ,BE=CE $,有\[  \triangle CED\sim \triangle CBA \riff \dfrac{DE}{AB}=\dfrac{CE}{CB}\riff DE=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \]即$ D $点在以$ E $点为圆心,半径等于$ \dfrac{\sqrt{2}}{2} $的园上,所以\[ S_{\triangle BCD}\leqslant \dfrac{1}{2}\times (\sqrt{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2})\times 2=\dfrac{3\sqrt{2}}{2} \]

色k 发表于 2019-4-10 08:17

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最后一行错了{:lol:}

isee 发表于 2019-4-10 09:04

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2楼的简化,这相似直接

敬畏数学 发表于 2019-4-10 09:36

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大牛。。。{:victory:}

敬畏数学 发表于 2019-4-10 09:42

其实这题如果是平常的解三角形方法也可以搞定的,简单,刚刚计算一下不难。6#的方法好像很高深啊。学习。

敬畏数学 发表于 2019-4-10 09:48

从三角计算过程中发现,此题似乎很有意义,如果ACD为等边三角形或者直角三角形都可以,是否可以推广一下?期待高手。。。。。

kuing 发表于 2019-4-10 10:08

这有啥高深的啊,一句话讲完:位似旋转变换,就是这类题的本质。

敬畏数学 发表于 2019-4-10 10:13

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好的,学习。

wwdwwd117 发表于 2019-4-17 10:00

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    有没有类似的题,搞个来练练{:lol:}

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