三角形正弦余弦一题
三角形ABC的三个角余弦值分别等于三角形DEF的三个角的正弦值,试判断它们的形状.(选项:锐角三角形,直角三角形,钝角三角形)
这枚题目很有意思. 我记得很早以前就见过这题…… 应该很早就有的 三个余弦的显然是锐角三角形,那么另外一个必然是钝角三角形。 重新写一下,下午写得有点笨……
依题意有
\[
\cos A=\sin D=\cos(90\du-D)\riff A=\abs{90\du-D},
\]另外两者同理,故
\[
180\du=A+B+C=c_1(90\du-D)+c_2(90\du-E)+c_3(90\du-F),
\]其中 `c_i\in\{-1,1\}`,显然 `c_i` 不能全是 `1`,而取 `-1` 则意味着相应的角为钝角,但一个三角形内最多一个钝角,所以有且只有一个 `c_i` 取 `-1`,不妨设 `c_1=c_2=1`, `c_3=-1`,上式变成 $180\du=90\du-D-E+F=-90\du+2F$,解得 $F=135\du$。
综上得 `\triangle ABC` 有一角为 $45\du$,`\triangle DEF` 有一角为 $135\du$,其余两对角对应地互余。 45,135度没想到,只是反证法证了下,
1>cosA=sinD>0,A为锐角,B,C一样
假设DEF都为锐角,那么$D=90\du -A$,EF一样,这和$D+E+F=A+B+C=180\du$
矛盾.此题外表好象难?唬住了一大批学生.
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