悠闲数学娱乐论坛(第2版) » 初等数学讨论 » 立几轨迹---双曲线

游客 发表于 2019-3-26 15:09

立几轨迹---双曲线

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kuing 发表于 2019-3-26 15:40

这个很简单啊，首先投影一下变成平几问题，这时是斜坐标系，然后作个垂直，转化为直角坐标，由乘积为定值知是反比例函数，还原回斜坐标就是双勾函数，也就是双曲线。

kuing 发表于 2019-3-26 16:01

噢还有，准确说应该是两条双曲线，因为这里是线段之积为定值，而不是向量数量积

游客 发表于 2019-3-26 16:28

主要这里要转换的东西太多，坐标法求出的方程还不是标准方程，双钩也是用Y表示X的，。。。很费时间呢

有没有几何方面思路？

kuing 发表于 2019-3-26 17:44

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=30553&ptid=5987]4#[/url] [i]游客[/i] [/b]

用角平分线为轴建系就是标准方程了呗，推导也很简单。

由夹角 $60\du$ 可设 `a`, `b` 上的单位向量分别为 $\bm i=(\cos 30\du,\sin 30\du)$, $\bm j=(\cos 30\du,-\sin 30\du)$，令 $\vv{AP}=2p\bm i$, $\vv{BQ}=2q\bm j$，依题意有 $\abs{pq}=c$ 为定值，设 `AB` 的中点为 `O`，由 `M` 是中点知 $\vv{AP}+\vv{BQ}=2\vv{OM}$，即 $\vv{OM}=p\bm i+q\bm j=\bigl((p+q)\cos 30\du,(p-q)\sin 30\du\bigr)$，令 $x=(p+q)\cos 30\du$, $y=(p-q)\sin 30\du$ 解得 `p=x/\sqrt3+y`, `q=x/\sqrt3-y`，所以 `M` 的轨迹方程就是
\[\left|\frac{x^2}3-y^2\right|=c.\]

敬畏数学 发表于 2019-3-28 12:23

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=30559&ptid=5987]5#[/url] [i]kuing[/i] [/b]
暂时没有想法。{:sweat:}

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