悠闲数学娱乐论坛(第2版) » 高等数学讨论 » 对称无理方程化为对称多项式方程

青青子衿 发表于 2019-2-25 20:25

对称无理方程化为对称多项式方程

\begin{align*}
\color{red}{
\begin{align*}
&&p&=\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}+\sqrt{x_3}\\  
&\Rightarrow&\left[\left(p^2-\sigma_1\right)^2-4\sigma_2\right]^2&=64p^2\sigma_3\\
\end{align*}}
\end{align*}
\[\left[\left(p^2-x_1-x_2-x_3\right)^2-4\left(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1\right)\right]^2=64p^2x_1x_2x_3\]
更多元的情况怎么处理呢？
这个式子有什么意义呢？请看下面这个问题：
已知\(\,x^3 - 5 x^2 + 6 x - 1=0\,\)的三个[b]正实根[/b]为
\begin{align*}
x_1&=\frac{5}{3}+\frac{2\sqrt{7}}{3}\cos\left(\frac{1}{3}\arctan\left(3\sqrt{3}\right)\right)\\
x_2&=\frac{5}{3}-\frac{\sqrt{7}}{3}\cos\left(\frac{1}{3}\arctan\left(3\sqrt{3}\right)\right)+\frac{\sqrt{21}}{3}\sin\left(\frac{1}{3}\arctan\left(3\sqrt{3}\right)\right)\\
x_3&=\frac{5}{3}-\frac{\sqrt{7}}{3}\cos\left(\frac{1}{3}\arctan\left(3\sqrt{3}\right)\right)-\frac{\sqrt{21}}{3}\sin\left(\frac{1}{3}\arctan\left(3\sqrt{3}\right)\right)
\end{align*}
求\(\,p=\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}+\sqrt{x_3}\,\)的极小多项式.[code]Solve[x^3 - 5 x^2 + 6 x - 1 == 0, x] // ComplexExpand[/code][url]http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=3754[/url]

kuing 发表于 2019-2-25 23:03

表示 `\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}+\sqrt{x_3}` 以及 `\sqrt{x_1x_2}+\sqrt{x_2x_3}+\sqrt{x_3x_1}` 我以前在 [url]http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=3066[/url] （1# 尾段 \section{一些可能没意义的等式} 部分）里用过一次。
表示 `\sqrt[3]{x_1}+\sqrt[3]{x_2}+\sqrt[3]{x_3}` 我以前在 [url]http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&ptid=5138&pid=25073[/url] （4#）里用过一次。

kuing 发表于 2019-2-26 02:26

来试一下四元二次根式。

照旧用 2# 链接中的方法，记
\begin{align*}
a_1 &= x^2 + y^2 + z^2 + w^2,\\
a_2 &= x^2 y^2 + y^2 z^2 + z^2 w^2 + w^2 x^2 + y^2 w^2 + x^2 z^2,\\
a_3 &= x^2 y^2 z^2 + y^2 z^2 w^2 + z^2 w^2 x^2 + w^2 x^2 y^2,\\
a_4 &= x y z w,\\
p &= x + y + z + w,\\
q &= x y + y z + z w + w x + y w + x z,\\
r &= x y z + y z w + z w x + w x y,
\end{align*}
则有
\[\led
p^2 - 2 q - a_1 &= 0,\\
q^2 - a_2 + 2 a_4 - 2 p r &= 0,\\
r^2 - a_3 - 2 a_4 q &= 0,
\endled\]
这样就可以消元了，最终得
\begin{align*}
(a_1^2 - 4 a_2 + 8 a_4)^2 - 4 (a_1^3 - 4 a_1 a_2 + 16 a_3 - 8 a_1 a_4) p^2 +
2 (3 a_1^2 - 4 a_2 - 24 a_4) p^4 - 4 a_1 p^6 + p^8 &= 0,\\
a_2^2 - 4 a_1 a_3 - 4 a_2 a_4 + 4 a_4^2 - 8 (a_3 + a_1 a_4) q -
2 (a_2 + 6 a_4) q^2 + q^4 &= 0,\\
(a_3^2 - 4 a_2 a_4^2 + 8 a_4^3)^2 -
4 (a_3^3 - 4 a_2 a_3 a_4^2 - 8 a_3 a_4^3 + 16 a_1 a_4^4) r^2 +
2 (3 a_3^2 - 4 a_2 a_4^2 - 24 a_4^3) r^4 - 4 a_3 r^6 + r^8 &= 0.
\end{align*}

更多元多次应该都总可以这样做，只是会越来越繁……

青青子衿 发表于 2019-3-15 19:18

[i=s] 本帖最后由 青青子衿 于 2021-11-27 22:58 编辑 [/i]

[quote]来试一下四元二次根式。
...
[size=2][color=#999999]kuing 发表于 2019-2-26 02:26[/color] [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=30041&ptid=5918][img]http://kuing.orzweb.net/images/common/back.gif[/img][/url][/size][/quote]
\begin{gather*}
&\left(\left(\left(p^2-\sigma_1\right)^2-4\sigma_2\right)^2-64p^2\sigma_3+64\sigma_4\right)^2\\
{\large=}&256\sigma_4\left(3p^4-2p^2\sigma_1-{\sigma_1}^2+4\sigma_2\right)^2
\end{gather*}
\begin{cases}
\sigma_1=x+y+z+w\\
\sigma_2=xy+xz+xw+yz+yw+zw\\
\sigma_3=xyz+yzw+zwx+wxy\\
\sigma_4=xyzw\\
\end{cases}
\begin{align*}
p=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\sqrt{w}
\end{align*}
[url]https://math.stackexchange.com/questions/3127229/[/url]

青青子衿 发表于 2019-3-16 16:26

[i=s] 本帖最后由 青青子衿 于 2019-11-7 23:47 编辑 [/i]

[quote]表示 $\sqrt[3]{x_1}+\sqrt[3]{x_2}+\sqrt[3]{x_3}$ 我以前在   ...
[size=2][color=#999999]kuing 发表于 2019-2-25 23:03[/color] [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=30037&ptid=5918][img]http://kuing.orzweb.net/images/common/back.gif[/img][/url][/size][/quote]
[quote]第二个：
记
\begin{align*}
a&=x^3+y^3+z^3,\\
b&=x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3,\\
c&=xyz,\\
t&=x+y+z,\\
u&=xy+yz+zx,
\end{align*}
则不难验证以下两个等式成立
\begin{align*}
t^3-a-3tu+3c&=0,\\
u^3-b-3ctu+3c^2&=0,
\end{align*}
消去 $u$，得到
\[t^9-3(a+6c)t^6+3(a^2-9b+3ac+9c^2)t^3-(a-3c)^3=0,\quad(*)\]
[size=2][color=#999999]kuing 发表于 2018-1-25 01:39[/color] [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=25073&ptid=5138][img]http://kuing.orzweb.net/images/common/back.gif[/img][/url][/size][/quote]
{:time:}
\begin{cases}
\sigma_1=x+y+z\\  
\sigma_2=xy+xz+yz\\  
\sigma_3=xyz\\
\end{cases}
\begin{gather*}
p=\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}\\
\Downarrow\\
27{\color{purple}{k^3}}+27\left(p^3-\sigma_1\right){\color{brown}{k^2}}-9\left(p^3-\sigma_1\right)\left(2p^3+\sigma_1\right){\color{brown}{k}}+\left(p^3-\sigma_1\right)^3-27p^3\sigma_2=0
\end{gather*}
\[ \sigma_3=k^3 \]

\begin{gather*}
k=\sqrt[3]{xyz}\\
\Downarrow\\
U\cdot\,\!{\color{brown}{k^2}}+V\cdot\,\!{\color{brown}{k}}+W=0
\end{gather*}

\begin{cases}
U=\phantom{+}27\left(p^3-\sigma_1\right)\\
V={\color{red}{-}}9\left(p^3-\sigma_1\right)\left(2p^3+\sigma_1\right)\\
W=\phantom{+}\left(p^3-\sigma_1\right)^3-27p^3\sigma_2+27\sigma_3
\end{cases}
\[ U^3{\sigma_3}^2+\left(V^3-3UVW\right)\sigma_3+W^3=0 \]

青青子衿 发表于 2021-8-20 23:51

[i=s] 本帖最后由 青青子衿 于 2021-8-22 23:48 编辑 [/i]

\begin{align*}
\color{black}{\prod\limits_{\substack{
\xi_1,\,\xi_2,\,\xi_3\,\\
\in\left\{ 1,\omega,\omega^2\right\}}
}\left(t-\xi _1\sqrt[3]{a}-\xi _2\sqrt[3]{b}-\xi _3\sqrt[3]{c} \right)=t^{27}+\sum\limits_{k=0}^{8}\alpha_{3k}t^{3k}}

\end{align*}

\begin{align*}
\color{black}{
\begin{aligned}
\alpha_0&= -\left[(a + b + c)^3-27 a b c\right]^3\\
\alpha_3&=9\left( a+b+c \right) ^8-81\left( ab+ac+bc \right) \left( a+b+c \right) ^6\\
&\qquad+3888abc\left( a+b+c \right) ^5-15309abc\left( ab+ac+bc \right) \left( a+b+c \right) ^3\\
&\qquad\qquad+65610a^2b^2c^2\left( a+b+c \right) ^2-59049a^2b^2c^2\left( ab+ac+bc \right)\\
\alpha_6&=-36\left( a+b+c \right) ^7+486\left( ab+ac+bc \right)\left( a+b+c \right) ^5\\
&\qquad-972abc\left( a+b+c \right) ^4-2187\left( ab+ac+bc \right) ^2\left( a+b+c \right) ^3\\
&\qquad\qquad-13122abc\left( ab+ac+bc \right) \left( a+b+c \right) ^2\\
&\qquad\qquad\qquad-124659a^2b^2c^2\left( a+b+c \right)\\
&\qquad\qquad\qquad\qquad+59049abc\left( ab+ac+bc \right) ^2\\
\alpha_9&=84\left( a+b+c \right) ^6-1215\left( ab+ac+bc \right) \left( a+b+c \right) ^4\\
&\qquad-16929abc\left( a+b+c \right) ^3+6561\left( ab+ac+bc \right) ^2\left( a+b+c \right) ^2\\
&\qquad\qquad+72171abc\left( ab+ac+bc \right) \left( a+b+c \right)\\
&\qquad\qquad\qquad+19683\left( ab+ac+bc \right) ^3+61236a^2b^2c^2\\
\alpha_{12}&=-126\left( a+b+c \right) ^5+1620\left( ab+ac+bc \right) \left( a+b+c \right) ^3\\
&\qquad+16524abc\left( a+b+c \right) ^2-6561\left( ab+ac+bc \right) ^2\left( a+b+c \right)\\
&\qquad\qquad-43740abc\left( ab+ac+bc \right)\\
\alpha_{15}&=126\left( a+b+c \right) ^4-1215\left( ab+ac+bc \right) \left( a+b+c \right) ^2\\
&\qquad+1701abc\left( a+b+c \right) +2187\left( ab+ac+bc \right) ^2\\
\alpha_{18}&=-84\left( a+b+c \right) ^3+486\left( ab+ac+bc \right) \left( a+b+c \right) -4293abc\\
\alpha_{21}&=36 (a+b+c)^2-81 (a b+a c+b c)\\
\alpha_{24}&=-9 (a+b+c)
\end{aligned}}
\end{align*}

kuing 发表于 2021-8-24 17:06

记
\begin{align*}
p  &=a+b+c+d,\\
q  &=ab+ac+ad+bc+bd+cd,\\
r  &=abc+bcd+cda+dab,\\
s  &=abcd,\\
A&=a^3+b^3+c^3+d^3,\\
B&=a^3b^3+a^3c^3+a^3d^3+b^3c^3+b^3d^3+c^3d^3,\\
C&=a^3b^3c^3+b^3c^3d^3+c^3d^3a^3+d^3a^3b^3,
\end{align*}则
\begin{align*}
A&=p^3-3pq+3r,\\
B&=q^3-3pqr+3r^2+3p^2s-3qs,\\
C&=r^3-3qrs+3ps^2,
\end{align*}消去 `q`, `r` 得到
\[a_0+a_1p+a_2p^2+\cdots+a_{27}p^{27}=0,\quad(*)\]其中
\begin{align*}
a_0   &= (A^3 - 27 C)^3 + 2187 A^2 (2 A^3 - 9 A B + 27 C) s^3, \\
a_1   &= -243 s^2 (10 A^6-54 A^4 B+432 A^3 C-729 A B C+729 C^2+729 A^2 s^3), \\
a_2   &= 81 A s (4 A^6-27 A^4 B+513 A^3 C-1458 A B C+2916 C^2+2916 A^2 s^3), \\
\cdots&\cdots\text{（略去一大堆）} \\
a_{24}&= 9 A, \\
a_{25}&= 0, \\
a_{26}&= 0, \\
a_{27}&= -1,
\end{align*}设 `\omega` 为三次单位根，由 `\omega^3=1` 可知：
将 `p=a+b+c+d` 改成以下的式子，同样满足式 (*)（这些式子使 `A`, `B`, `C`, `s` 均不变）
`\omega a+\omega b+\omega c+d`、`\omega a+\omega b+c+\omega d`、……（三个 `\omega`，4 条）；
`\omega a+\omega^2b+c+d`、`\omega^2a+\omega b+c+d`、……（一个 `\omega` 一个 `\omega^2`，12 条）；
`\omega^2a+\omega^2b+\omega^2c+d`、`\omega^2a+\omega^2b+c+\omega^2d`、……（三个 `\omega^2`，4 条）；
`\omega a+\omega b+\omega^2c+\omega^2d`、`\omega a+\omega^2b+\omega c+\omega^2d`、……（两个 `\omega` 两个 `\omega^2`，6 条）；
以上总共 26 条，连同原本的 `p`，也就是说：
关于 `x` 的方程 `\sum_{k=0}^{27}a_kx^k=0` 的 27 个根就是以上所列，所以
\begin{align*}
a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_{27}x^{27}={}&(a+b+c+d-x)\\
&\times(\omega a+\omega b+\omega c+d-x)\cdots\\
&\times(\omega a+\omega^2b+c+d-x)\cdots\\
&\times(\omega^2a+\omega^2b+\omega^2c+d-x)\cdots\\
&\times(\omega a+\omega b+\omega^2c+\omega^2d-x)\cdots,
\end{align*}令 `x=0`，得
\begin{align*}
a_0={}&(a+b+c+d)\\
&\times(\omega a+\omega b+\omega c+d)\cdots\\
&\times(\omega a+\omega^2b+c+d)\cdots\\
&\times(\omega^2a+\omega^2b+\omega^2c+d)\cdots\\
&\times(\omega a+\omega b+\omega^2c+\omega^2d)\cdots,
\end{align*}变个形，把 `a_0` 代回去，即
\[
\frac1{a+b+c+d}=\frac{\begin{aligned}
&(\omega a+\omega b+\omega c+d)\cdots\\
&\times(\omega a+\omega^2b+c+d)\cdots\\
&\times(\omega^2a+\omega^2b+\omega^2c+d)\cdots\\
&\times(\omega a+\omega b+\omega^2c+\omega^2d)\cdots
\end{aligned}}{(A^3 - 27 C)^3 + 2187 A^2 (2 A^3 - 9 A B + 27 C) (abcd)^3},
\quad(**)
\]接下来继续化简上式的分子，由
\begin{align*}
(\omega a+\omega b+\omega c+d)(\omega^2a+\omega^2b+\omega^2c+d)
&=\omega^3(a+b+c)^2+(\omega+\omega^2)(a+b+c)d+d^2\\
&=(a+b+c)^2-(a+b+c)d+d^2,\\
(\omega a+\omega^2b+c+d)(\omega^2a+\omega b+c+d)
&=\omega^3(a^2+b^2)+(\omega^2+\omega^4)ab+(\omega+\omega^2)(a+b)(c+d)+(c+d)^2\\
&=a^2+b^2-ab-(a+b)(c+d)+(c+d)^2,\\
(\omega a+\omega b+\omega^2c+\omega^2d)(\omega^2a+\omega^2b+\omega c+\omega d)
&=\omega^3(a+b)^2+(\omega^2+\omega^4)(a+b)(c+d)+\omega^3(c+d)^2\\
&=(a+b)^2-(a+b)(c+d)+(c+d)^2,
\end{align*}可知式 (**) 的分子化为
\begin{align*}
&\bigl((a+b+c)^2-(a+b+c)d+d^2\bigr)\\
&\times\bigl((a+b+d)^2-(a+b+d)c+c^2\bigr)\\
&\times\bigl((a+c+d)^2-(a+c+d)b+b^2\bigr)\\
&\times\bigl((b+c+d)^2-(b+c+d)a+a^2\bigr)\\
&\times\bigl(a^2+b^2-ab-(a+b)(c+d)+(c+d)^2\bigr)\\
&\times\bigl(a^2+c^2-ac-(a+c)(b+d)+(b+d)^2\bigr)\\
&\times\bigl(a^2+d^2-ad-(a+d)(b+c)+(b+c)^2\bigr)\\
&\times\bigl(b^2+c^2-bc-(b+c)(a+d)+(a+d)^2\bigr)\\
&\times\bigl(b^2+d^2-bd-(b+d)(a+c)+(a+c)^2\bigr)\\
&\times\bigl(c^2+d^2-cd-(c+d)(a+b)+(a+b)^2\bigr)\\
&\times\bigl((a+b)^2-(a+b)(c+d)+(c+d)^2\bigr)\\
&\times\bigl((a+c)^2-(a+c)(b+d)+(b+d)^2\bigr)\\
&\times\bigl((a+d)^2-(a+d)(b+c)+(b+c)^2\bigr).
\end{align*}

kuing 发表于 2021-8-24 23:21

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=40920&ptid=5918]7#[/url] [i]kuing[/i] [/b]

从便于计算的角度来说，前四个
\[\prod_{cyc}\bigl((a+b+c)^2-(a+b+c)d+d^2\bigr)=A^2p^2+3Ap(pr-3s)+9(pr-3s)^2,\]后三个
\begin{align*}
&\bigl((a+b)^2-(a+b)(c+d)+(c+d)^2\bigr)\\
&\times\bigl((a+c)^2-(a+c)(b+d)+(b+d)^2\bigr)\\
&\times\bigl((a+d)^2-(a+d)(b+c)+(b+c)^2\bigr)\\
={}&A^2+3Ar+9r^2-9p^2s,
\end{align*}然鹅中间六个没化出简单的式子……
A^4 - 27 A^2 B + 216 A C - 3 A^3 p q - 648 C p q + 9 A^2 p^2 q^2 -
3 A^3 r - 81 A B r + 810 C r - 81 A^2 p q r + 27 A p^2 q^2 r +
81 A^2 r^2 - 243 B r^2 - 243 A p q r^2 + 81 p^2 q^2 r^2 +
99 A^2 p^2 s - 243 B p^2 s - 162 A^2 q s + 729 B q s +
81 A p q^2 s + 216 A p^2 r s - 81 A q r s - 2187 p q^2 r s +
1377 p^2 r^2 s + 1701 q r^2 s + 1701 p^2 q s^2 + 729 q^2 s^2 -
4374 p r s^2 + 729 s^3

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