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hjfmhh 发表于 2019-2-12 22:11

求证一个三角恒等式

[attach]6973[/attach]
左边怎么证到右边

kuing 发表于 2019-2-13 00:27

令 `t=\cos(4\pi/9)`，则\[
-\frac12=\cos\frac{4\pi}3=4t^3-3t\riff8t^3-6t+1=0,
\]而\begin{align*}
\LHS&=\frac{(12t-1)^2}{6t-1}=\frac{9(4t-1)^2}{6t-1}+8,\\
\RHS&=18\sqrt3\sin\frac{2\pi}9+8=9\sqrt{6(1-t)}+8,
\end{align*}只需证 `6(1-t)(6t-1)^2=(4t-1)^4`，分解后就是前面的三次式。

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