直角三角形个数
[attach]6952[/attach]这个怎么数好，请各位赐教，谢谢 分类数呗
两直角边平行于坐标轴的：由于选定任一直角顶点后，另外两顶点都有三种选择，所以这种共 `4^2\times3^2=144`；
斜边平行于坐标轴的：易知只有当斜边长为 `2` 时才行，由此易数出共 `24` 个；
三边都不平行于坐标轴的：貌似就只有这样的
[attach]6955[/attach]
易数出共 `16` 个。
没有了吧？那就是 `184` 咯 [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=29761&ptid=5881]2#[/url] [i]kuing[/i] [/b]
[attach]6965[/attach]
貌似落了几个，哈哈。看到答案，分类方法不一样，给你瞧瞧啊 唉，还是最后的漏了，还真不止上图中那一种，还有下图绿线的：
[attach]6964[/attach]
同样也是 16 个，补上就是 200 了 [quote]唉，还是最后的漏了，还真不止上图中那一种，还有下图绿线的：
同样也是 16 个，补上就是 ...
[size=2][color=#999999]kuing 发表于 2019-2-9 22:06[/color] [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=29782&ptid=5881][img]http://kuing.orzweb.net/images/common/back.gif[/img][/url][/size][/quote]
绿色的直角三角形可以用这个恒等式去记忆
\[\tan^{-1}\left(1\right)+\tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)+\tan^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{\pi}{2}\] 改成$5\times5,6\times6,n\times n$每一次n增大，有没新的直角形要计算的？ [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=29800&ptid=5881]6#[/url] [i]realnumber[/i] [/b]
肯定多得多了……
[attach]6967[/attach][attach]6969[/attach]……
边上两个就眼花了，中间的恐怕更花…… 那就三个问题分开算，
$n\times n$如楼上点阵中，以其中三点为三角形顶点.
1.有几个直角三角形？
2.如果（至少有一顶点不同的）两三角形全等，则视为同一个，则有几个直角三角形？
3.如果两三角形相似，视为同一类三角形，则有几类直角三角形？ 最近展开式灵感爆棚！我又来了！{:lol:}
考虑一般情况，即点阵为 `n\times m` 的情形，以下默认 `x_i\in\{1,2,\ldots,n\}`, `y_i\in\{1,2,\ldots,m\}`。
首先，直角边平行于坐标轴的个数是 `nm(n-1)(m-1)` 这个就不用我说了吧，下面研究直角边不平行于坐标轴的。
设直角顶点的坐标为 `A(x_0,y_0)`，另外两顶点为 `B(x_1,y_1)`, `C(x_2,y_2)` 且 `k_{AB}>0`, `k_{AC}<0`，即 `(x_1-x_0)(y_1-y_0)>0`, `(x_2-x_0)(y_2-y_0)<0`，要垂直，即 `k_{AB}\cdot k_{AC}=-1`，也即 `(y_1-y_0)/(x_1-x_0)+(x_2-x_0)/(y_2-y_0)=0`，于是，构造
\[f(x_0,y_0)=\left( \sum_{(x_1-x_0)(y_1-y_0)>0}x^{(y_1-y_0)/(x_1-x_0)} \right)\left( \sum_{(x_2-x_0)(y_2-y_0)<0}x^{(x_2-x_0)/(y_2-y_0)} \right),\]
设 `f(x_0,y_0)` 展开式中的常数项为 `c(x_0,y_0)`，那么它就是以 `A(x_0,y_0)` 为直角顶点的直角三角形个数，让 `A` 取遍所有点，然后全加起来就是所求。
综上所述，直角三角形个数就是
\[\sum_{x_0=1}^n\sum_{y_0=1}^mc(x_0,y_0)+nm(n-1)(m-1).\]
另外，为便于软件输入，有必要对 `f(x_0,y_0)` 换个写法，即
\begin{align*}
f(x_0,y_0)={}&\left( \sum_{x_1=1}^{x_0-1}\sum_{y_1=1}^{y_0-1}x^{(y_1-y_0)/(x_1-x_0)}+\sum_{x_1=x_0+1}^n\sum_{y_1=y_0+1}^mx^{(y_1-y_0)/(x_1-x_0)} \right)\\
&\times\left( \sum_{x_2=1}^{x_0-1}\sum_{y_2=y_0+1}^mx^{(x_2-x_0)/(y_2-y_0)}+\sum_{x_2=x_0+1}^n\sum_{y_2=1}^{y_0-1}x^{(x_2-x_0)/(y_2-y_0)} \right).
\end{align*}
这样就得到了 Mathematica 的如下代码：[code]c[x0_, y0_, n_, m_] :=
Coefficient[
Expand[(Sum[x^((y1 - y0)/(x1 - x0)), {x1, 1, x0 - 1}, {y1, 1, y0 - 1}] +
Sum[x^((y1 - y0)/(x1 - x0)), {x1, x0 + 1, n}, {y1, y0 + 1, m}])
(Sum[x^((x2 - x0)/(y2 - y0)), {x2, 1, x0 - 1}, {y2, y0 + 1, m}] +
Sum[x^((x2 - x0)/(y2 - y0)), {x2, x0 + 1, n}, {y2, 1, y0 - 1}])], x, 0]
cc[m_, n_] :=
Sum[c[x0, y0, n, m], {x0, 1, n}, {y0, 1, m}] + n m (n - 1) (m - 1) [/code]然后输入 cc[4,4] 得到 200，看来没写错{:lol:}
cc[4, 5] 得 342
cc[5, 5] 得 596
cc[6, 6] 得 1444
cc[10, 10] 得 15332
cc[20, 20] 得 337960（用时半分多钟
cc[30, 30] 得 1984564（用时约8分钟
等等…… [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=29810&ptid=5881]9#[/url] [i]kuing[/i] [/b]
其实也不需要让 `A` 取遍所有点，因为有对称性，只需取一个角以内即可，以 `n=4` 为例，只需让 `A` 取 `(2,1)` 和 `(2,2)` 即可，算出来分别乘以 `8` 和 `4` 再加起来即可。
所以上面的程序是可以优化一下减少计算的，不过懒得弄了，因为估计也没什么卵用，就算只需算 1/8 的点，这种展开式算法应该都会和上次那个整数分拆一样，时间和空间复杂度会非常高，大数肯定算不动的。 谢谢楼上各位，学习了...
原谅我很久没有来论坛，这一个来月忙飞起来，累坏宝宝了，所以，请原谅我吧{:tongue:} [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=29810&ptid=5881]10#[/url] [i]kuing[/i] [/b]
叹为观止，都看不动 [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=30225&ptid=5881]12#[/url] [i]isee[/i] [/b]
没所谓，因为那方法只是理论上如此，实际上没啥用。 OEIS网站太丰富了{:shocked:}
4, 44, 200, 596, 1444, 2960, 5520, 9496, 15332, 23596
[url]http://oeis.org/A077435[/url] [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=30531&ptid=5881]14#[/url] [i]青青子衿[/i] [/b]
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