级数问题。难道又是题错了？
Identify the series$\sum_{n=1}^{\infty}\cfrac {(-1)^{n+1}x^{2n}}{(2n-1)!}$,
and then, by integration and differentiation, deduce the values S of the following series:
(a) $\sum_{n=1}^{\infty}\cfrac {(-1)^{n+1}n^2}{(2n)!}$
(b) $\sum_{n=1}^{\infty}\cfrac {(-1)^{n+1}n}{(2n+1)!}$
(c) $\sum_{n=1}^{\infty}\cfrac{(-1)^{n+1}n\pi^{2n}}{4^n(2n-1)!}$
(d) $\sum_{n=1}^{\infty}\cfrac{(-1)^{n}(n+1)}{(2n)!}$
那个级数容易看出是 $x\sin x$, 可是怎样通过微分和积分与后面的各个小问题联系起来，一点头绪都没有。 [i=s] 本帖最后由 战巡 于 2019-1-26 00:56 编辑 [/i]
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令
\[f(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}x^{2n}}{(2n-1)!}=x\sin(x)\]
a、
\[g(x)=\int_0^x\frac{f(t)}{t}dt=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}x^{2n}}{(2n)!}\]
令$x=e^y$
\[g(e^y)=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}e^{2ny}}{(2n)!}\]
\[h(y)=\frac{d^2}{dy^2}g(e^y)=4\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}n^2e^{2ny}}{(2n)!}\]
\[h(0)=4\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}n^2}{(2n)!}\]
b、
\[g_2(x)=\int_0^xg(t)dt=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}x^{2n+1}}{(2n+1)!}\]
\[\frac{g_2(e^y)}{e^y}=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}e^{2ny}}{(2n+1)!}\]
\[h_2(y)=\frac{d}{dy}\frac{g_2(e^y)}{e^y}=2\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}ne^{2ny}}{(2n+1)!}\]
\[h_2(0)=2\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}n}{(2n+1)!}\]
以下类推 [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=29583&ptid=5849]2#[/url] [i]战巡[/i] [/b]
太感谢了。又快又好！{:handshake:}
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