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业余的业余 发表于 2018-12-20 01:43

来道不等式难题 $\sum_{cyc} \cfrac 1{7a+b}$ 型

题目来自 [url=https://math.stackexchange.com/questions/2197138/if-abc-abc-then-sum-limits-cyc-frac17ab-leq-frac-sqrt38]math.stackexchange.[/url]

已知 $a,b,c>0, a+b+c=abc$ 求证:
$$\frac{1}{7a+b}+\frac{1}{7b+c}+\frac{1}{7c+a}\leq\frac{\sqrt3}{8}$$

我把它恒等变型,得到如下等价的命题: $x,y,z>0 \land x+y+z=1 \implies \sqrt{xyz}\sum_{cyc}\cfrac 1{7x+y}\leq\frac{\sqrt3}{8}$.

这个不等式不知道该怎样缩放,一放就容易放过头。这个帖子有快两年的历史了,试的人不少,至今无解。

kuing 发表于 2018-12-20 01:52

连 Michael Rozenberg 都搞不定,我看我也没什么机会能做出来了……

业余的业余 发表于 2018-12-20 01:53

那位大神是?

Infinity 发表于 2019-1-30 20:54

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=29184&ptid=5795]2#[/url] [i]kuing[/i] [/b]


    可以试试切线法结合放缩。

业余的业余 发表于 2019-1-31 10:52

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=29628&ptid=5795]4#[/url] [i]Infinity[/i] [/b]

切入点需要极巧。这个不等式不太经得起放缩,一不小心就放过头(最大值成了最小值)。放到能用切线法,应该就不是问题了。

Infinity 发表于 2019-1-31 15:26

一般来说,大多数不等式的源头是排序不等式和琴生不等式,切线法本质上是琴生不等式的变体版。可以试试原始的琴生不等式或排序不等式。

经尝试发现取等条件之一是xyz三者相等,故可以考虑上述方法。还可以使用调整法,比如固定两个相等,剩下一个变化,不过可能比较麻烦。

业余的业余 发表于 2019-2-1 00:54

{:smile:}

zdyzhj 发表于 2019-2-6 06:37

既然老头子玩不出来我就玩一下,我一玩就知道这个不等式不是老头子能玩的系列,因为已超出他的手段范围了,即使是差分都有多个负项,所以不是他能搞动的了,不过我们仍有手段搞出来,只是证明不漂亮了,没什么困难。这样的东西玩得多了。因为是循环的,想漂亮弄出来,几乎不可能.

业余的业余 发表于 2019-2-7 04:57

{:victory:}[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=29714&ptid=5795]8#[/url] [i]zdyzhj[/i] [/b]

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