√2a,b,c成等差，求3/sinA+√2/sinC最小值
在$\triangle ABC$中，設角$A,B,C$的對邊分別為$a,b,c$，若$\sqrt{2}a,b,c$構成等差數列，則$\frac{3}{\sin{A}}+\frac{\sqrt{2}}{\sin{C}}$的最小值為 总感觉是从几何图形里出的，所以可能会有几何秒法……
不管了，先上个装逼均值解法：由面积公式及均值，有
\begin{align*}
\frac3{\sin A}+\frac{\sqrt2}{\sin C}
&=\frac{3bc}{2S}+\frac{\sqrt2ab}{2S}\\
&=\frac{2b\bigl(\sqrt2a+3c\bigr)}{\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}}\\
&=\frac{2\sqrt3b\bigl(\sqrt2a+3c\bigr)}{\sqrt{\bigl((b+c)^2-a^2\bigr)\cdot3\bigl(a^2-(b-c)^2\bigr)}}\\
&\geqslant\frac{4\sqrt3b\bigl(\sqrt2a+3c\bigr)}{(b+c)^2-a^2+3a^2-3(b-c)^2}\\
&=\frac{2\sqrt3b\bigl(\sqrt2a+3c\bigr)}{a^2-b^2+4bc-c^2},
\end{align*}
由条件有 `b=\bigl(\sqrt2a+c\bigr)/2`，代入上式化简得到
\begin{align*}
\frac3{\sin A}+\frac{\sqrt2}{\sin C}
&\geqslant\frac{4\sqrt3\bigl(\sqrt2a+c\bigr)\bigl(\sqrt2a+3c\bigr)}{2a^2+6\sqrt2ac+3c^2}\\
&=4\sqrt3-\frac{8\sqrt6ac}{2a^2+6\sqrt2ac+3c^2}\\
&\geqslant4\sqrt3-\frac{8\sqrt6}{2\sqrt6+6\sqrt2}\\
&=2+2\sqrt3,
\end{align*}
不难验证当 $A=60\du$ 且 $C=45\du$ 时满足题意且原式 `=2+2\sqrt3`，即等号能取，所以这就是所求的最小值。 题目条件与所求好远好远 此题真的是这样做吗？晕掉了。 [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=28971&ptid=5760]4#[/url] [i]敬畏数学[/i] [/b]
直觉告诉我会有秒杀方法，只是暂时还没想到，你们也一起来想想吧 [attach]6768[/attach]
不知道这个是否有用。 [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=28995&ptid=5760]6#[/url] [i]游客[/i] [/b]
来几个文字解释一下？ 某网友的柯西解答：
[attach]6782[/attach] [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=29067&ptid=5760]8#[/url] [i]其妙[/i] [/b]
介个还不错，至少比我那个自然得多 [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=29067&ptid=5760]8#[/url] [i]其妙[/i] [/b]
唉，没想到把有关A，C的和乘一下……
主要这个数据也是变态。。。。。。。 余弦定理关键。 [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=29002&ptid=5760]7#[/url] [i]敬畏数学[/i] [/b]
[attach]6786[/attach]
楼上的余弦定理可以不用,直接看图知道:当AC⊥BD时,BA、BC都是圆的切线，∠B达到最大值75度。
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