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isee 发表于 2018-11-28 15:04

反比例函数,两线交y轴,求证线段定值

[i=s] 本帖最后由 isee 于 2018-12-12 16:52 编辑 [/i]

如图1,直线$y=k_1x$与$y=\frac {k_2}x$交于$A$,$B$两点,直线$AC$交$y$轴于$P$,直线$BC$交$y$轴于$D$,则$PD$的长为定值.

[color=Red]会不会有几何证法。。。。。[/color]

色k 发表于 2018-11-28 16:13

分类是不是应该选几何

isee 发表于 2018-11-28 16:26

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=28942&ptid=5759]2#[/url] [i]色k[/i] [/b]

其实也行,就先函数吧.

反比例函数的性质。

zhcosin 发表于 2018-11-28 16:59

哎,很久没上论坛了,今天来瞧一瞧,本来想撸两个题目的,结果第一页的题目全不会。 {:mad:}{:mad:}{:mad:}

isee 发表于 2018-11-28 17:00

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=28944&ptid=5759]4#[/url] [i]zhcosin[/i] [/b]

这页这个绝对是没有问题的呀。要不就是冬天的原因。

kuing 发表于 2018-11-28 17:55

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=28943&ptid=5759]3#[/url] [i]isee[/i] [/b]

明明是双曲线性质[img]http://kuing.orzweb.net/attachments/month_1309/1309021709311305c9c5b3c4e0.gif[/img]
[attach]6761[/attach]
两定点 A、B 对称,C 动,则 DE 和 D'E' 均为定值

isee 发表于 2018-11-28 19:29

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=28946&ptid=5759]6#[/url] [i]kuing[/i] [/b]


    初中把 双曲线 当反比例函数的。。。。

isee 发表于 2018-11-28 19:32

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=28946&ptid=5759]6#[/url] [i]kuing[/i] [/b]


    算了,不跟你争,我去改分类,你继续研究下,有没有可能有相对通顺的几何证明。

kuing 发表于 2018-11-29 09:26

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=28948&ptid=5759]8#[/url] [i]isee[/i] [/b]

唉,原来“AB对称”也是不需要的……曲线上任两定点即可……
[attach]6763[/attach]

kuing 发表于 2018-11-29 09:40

又或者反过来,这样说:定直线 `l` 上有一固定长度的线段 `DE` 在滑动,`A`, `B` 为定点,直线 `AD` 与 `BE` 交于 `C`,则 `C` 的轨迹是双曲线?
[attach]6764[/attach]

isee 发表于 2018-11-29 09:55

果真又被你搞大了。

kuing 发表于 2018-11-29 10:05

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=28956&ptid=5759]11#[/url] [i]isee[/i] [/b]

由 10# 联想起这帖 [url]http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=5621[/url] 总感觉会有点儿联系……

isee 发表于 2018-11-29 10:44

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=28957&ptid=5759]12#[/url] [i]kuing[/i] [/b]


    我也想到了这个,huing 的射影解法可能就是问题的本质。

kuing 发表于 2018-11-29 10:51

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=28959&ptid=5759]13#[/url] [i]isee[/i] [/b]

不过 10# 的命题不用高科技来证似乎也很简单。

以下暂且不考虑特殊情形(如 $AB\px l$ 之类),不妨设 `l` 就是 `x` 轴,记定长 `DE=d`,则 `AD` 和 `BE` 的方程分别为
\begin{align*}
y&=\frac{y_A}{x_A-x_D}(x-x_A)+y_A,\\
y&=\frac{y_B}{x_B-x_D-d}(x-x_B)+y_B,
\end{align*}
联立消去唯一的变量 `x_D` 便是交点 `C` 的轨迹方程,但这里不必去消,因为明显消去 `x_D` 后得到的方程的次数不高于二次,而 `AB` 不与 `l` 平行时必存在 `AD` 与 `BE` 平行的时刻,故此必定为双曲线(或者某些退化情形)。

另外,一般也存在 `C` 与 `A` 或 `B` 重合的时候,所以轨迹一般都过 `A` 和 `B`。

这样,是否能反过来说明 9# 成立呢?感觉还不够……

isee 发表于 2018-12-11 20:24

[i=s] 本帖最后由 isee 于 2018-12-11 20:29 编辑 [/i]

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=28946&ptid=5759]6#[/url] [i]kuing[/i] [/b]

仅就主楼而言,$PD$的长度是点$A$纵坐标的2倍。

基本不用算,先几何法,先证$\triangle CPD$是等腰三角形。

isee 发表于 2018-12-11 20:33

由A,B两点关于原点中心对称,可得$$PA=BD,$$证明并不难,此处略了。

进一步得到$$\angle CPD=\angle CDP.$$
所以$$\frac 12 PD=PJ=PG+GJ=JO+GJ=GO=y_A=\sqrt {k_1k_2}.$$

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