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kuing 发表于 2018-11-18 16:50

前两天减压群的空间解析几何问题——求切线面方程

[quote]**寒,**珊  19:00:34
翻译成更直接一点就是:
空间中的三次(挠率不为零)曲线:r={t,t²,t³}
每一点的切线都在曲面上:
(z-xy)²=4(xz-y²)(y-x²)

请问空间四次曲线r={t²,t³,t⁴}的所有切线所在哪一个曲面上?[/quote]
这几天一直整理片片没心思想,今天才有点,由于对空间解几不是很熟悉,下面尝试从头推导一下。

设空间曲线 `C`: `\{x(t),y(t),z(t)\}`,其上两点 `P(x(t),y(t),z(t))`, `Q(x(t+\Delta t),y(t+\Delta t),z(t+\Delta t))`,则直线 `PQ` 方程为
\[\frac{x-x(t)}{x(t+\Delta t)-x(t)}=\frac{y-y(t)}{y(t+\Delta t)-y(t)}=\frac{z-z(t)}{z(t+\Delta t)-z(t)},\]
对各分母除以 `\Delta t` 并令 `\Delta t\to0`,即得 `P` 处的切线方程为
\[\frac{x-x(t)}{x'(t)}=\frac{y-y(t)}{y'(t)}=\frac{z-z(t)}{z'(t)},\]
那么,当 `t` 变化时,此直线所扫过的曲面就是所求,或者干脆说上式就是此曲面的参数方程,所以要求其的隐式方程,只需消去参数 `t` 即可。

现在 `C`: `\{t^2,t^3,t^4\}`,方程为
\[\frac{x-t^2}{2t}=\frac{y-t^3}{3t^2}=\frac{z-t^4}{4t^3},\]
用等比降一降次,化为
\[\frac{x-t^2}2=\frac{y-tx}t=\frac{z-ty}{t^2},\]

\[\led
t(x-t^2)&=2(y-tx),\\
t(y-tx)&=z-ty,
\endled\]
可以继续手工消元,但我懒得慢慢算了,直接开挂:[code]Resultant[t (x - t^2) - 2 (y - t x), t (y - t x) - (z - t y), t][/code]得到方程
\[-9 x^4 z+8 x^3 y^2-6 x^2 z^2+24 x y^2 z-16 y^4-z^3=0.\]

虽然是推了出来,但这大概是个笨方法,事关后来提问者自己推出的结果是 `(x^2-z)^3=(x^3+3xz-4y^2)^2`,与上述方程等价!如此简洁的结果肯定是通过更巧妙的方法直接得出的,而不是像我那样暴力消元。

所以我很好奇,@**寒,**珊 你是怎么推的?

游客 发表于 2018-11-18 18:38

[attach]6743[/attach]

青青子衿 发表于 2018-11-18 21:58

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=28839&ptid=5742]1#[/url] [i]kuing[/i] [/b]
我其实也是硬解方程组导出来的
首先由于切线面是直纹面,所以可以利用直纹面向量式方程得到切线面的向量式方程:\(\boldsymbol{r}\left(u,v\right)=\boldsymbol{a}\left(u\right)+v\,\boldsymbol{a}'\left(u\right)\)
四次挠曲线\(C\colon\,\,\)\(\boldsymbol{a}\left(\,t\,\right)=\{\,t^2,\,t^3,\,t^4\,\}\),\(\boldsymbol{a}\)同时也是位置向量
则四次挠曲线\(\,C\)一般参数(即参数\(t\))的切向量为\(\boldsymbol{a}'\left(\,t\,\right)=\{\,2t,\,3t^2,\,4t^3\,\}\)
因此四次挠曲线\(\,C\,\,\)切线面的参数方程为\(\boldsymbol{r}\left(u,v\right)=\{\,u^2,\,u^3,\,u^4\,\}+v\,\{\,2u,\,3u^2,\,4u^3\,\}=\{\,u^2+2uv,\,u^3+3u^2v,\,u^4+4u^3v\,\}\)
写成空间直角坐标系下坐标的参数方程形式为
\begin{cases}
x=u^2+2uv\\
y=u^3+3u^2v\\
z=u^4+4u^3v\\
\end{cases}
将上述方程中含有\(\,v\,\)的项“吸收”一个\(\,u\,\),可得:
\begin{cases}
x=u^2+2v\\
y=u^3+3uv\\
z=u^4+4u^2v\\
\end{cases}
接下来就开始“硬解”了
\begin{align*}
\begin{cases}
\begin{split}
x-u^2&=2v\\
y&=u^3+3uv\\
z&=u^4+4u^2v\\
\end{split}
\end{cases}
&\Longrightarrow
\begin{cases}
\begin{split}
y&=u^3+\frac{3u}{2}(x-u^2)\\
z&=u^4+2u^2(x-u^2)\\
\end{split}
\end{cases}\\
&\Longrightarrow
\begin{cases}
\begin{split}
2y&=3ux-u^3\\
z&=2u^2x-u^4\\
\end{split}
\end{cases}\\
&\Longrightarrow
\begin{cases}
\begin{split}
2y&=u(3x-u^2)\\
u&=\pm\sqrt{x\pm\sqrt{x^2-z}}\\
\end{split}
\end{cases}\\
&\Longrightarrow
\quad2y=\pm\sqrt{x\pm\sqrt{x^2-z}}\left(3x-\left(x\pm\sqrt{x^2-z}\,\right)\right)\\
\end{align*}
然后“想当然的”就全取正再化简(我也不太清楚),算出的答案\(\,(x^2-z)^3=(x^3+3xz-4y^2)^2\)

游客 发表于 2018-11-18 22:48

[attach]6744[/attach]

kuing 发表于 2018-11-18 23:05

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=28844&ptid=5742]4#[/url] [i]游客[/i] [/b]

这个好!

kuing 发表于 2018-11-18 23:13

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=28843&ptid=5742]3#[/url] [i]青青子衿[/i] [/b]

最后这步虽然是“想当然”但应该有一定的必然性,尽管我一时也不知怎么说……就类似于以往求一个多项式使它的根为某个带根号的式子,而它的其他根往往就是差一些正负号那样子……

青青子衿 发表于 2018-11-21 13:55

[i=s] 本帖最后由 青青子衿 于 2019-11-5 08:49 编辑 [/i]

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=28844&ptid=5742]4#[/url] [i]游客[/i] [/b]
四楼这个方法真的好!还可以把原问题稍微推广一下
\begin{align*}
\frac{x-a\,t^2}{2a\,t}=\frac{y-b\,t^3}{3b\,t^2}=\frac{z-c\,t^4}{4c\,t^3}&\Longrightarrow
\frac{x-a\,u^2}{2a\,u^2}=\frac{y-b\,u^3}{3b\,u^3}=\frac{z-c\,u^4}{4c\,u^4}=v
\\\,\\
&\Longrightarrow
\begin{cases}
\begin{split}
x&=a\left(2v+1\right)u^2\\
y&=b\left(3v+1\right)u^3\\
z&=c\left(4v+1\right)u^4
\end{split}
\end{cases}
\Longrightarrow
\begin{cases}
\begin{split}
\tfrac{x}{a}&=\left(2v+1\right)u^2\\
\tfrac{y}{b}&=\left(3v+1\right)u^3\\
\tfrac{z}{a}&=\left(4v+1\right)u^4
\end{split}
\end{cases}\\
&\Longrightarrow
\begin{cases}
\begin{split}
\tfrac{x^2}{a^2}-\tfrac{z}{c}&=4u^4v^2\\
\tfrac{y^2}{b^2}-\tfrac{xz}{ac}&=\phantom{1}u^6v^2\\
\left(\tfrac{x}{a}-u^2\right)^2&=4u^4v^2
\end{split}
\end{cases}
\Longrightarrow
\begin{cases}
\begin{split}
\tfrac{x^2}{a^2}-\tfrac{z}{c}&=4u^4v^2\\
4\left(\tfrac{y^2}{b^2}-\tfrac{xz}{ac}\right)&=4u^6v^2\\
\left(\tfrac{x}{a}-u^2\right)^2&=4u^4v^2
\end{split}
\end{cases}\\
&\Longrightarrow
\begin{cases}
\begin{split}
\frac{4\left(\tfrac{y^2}{b^2}-\tfrac{xz}{ac}\right)}{\tfrac{x^2}{a^2}-\tfrac{z}{c}}&=u^2\\
\left(\tfrac{x}{a}-u^2\right)^2&=\tfrac{x^2}{a^2}-\tfrac{z}{c}
\end{split}
\end{cases}\\
&\Longrightarrow
\left(\frac{x}{a}-\frac{4\left(\tfrac{y^2}{b^2}-\tfrac{xz}{ac}\right)}{\tfrac{x^2}{a^2}-\tfrac{z}{c}}\right)^2=\frac{x^2}{a^2}-\frac{z}{c}\\
&\Longrightarrow
\left(\frac{x^3}{a^3}+\frac{3xz}{ac}-\frac{4y^2}{b^2}\right)^2=\left(\frac{x^2}{a^2}-\frac{z}{c}\right)^3
\end{align*}
{:lol:} {:lol:} {:lol:}
\begin{align*}   
\{\,a\,t,\,b\,t^2,\,c\,t^3\,\}\quad   
&&\longmapsto&&\quad4\left(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y}{b}\right)\left(\frac{y^2}{b^2}-\frac{xz}{ac}\right)&=\left(\frac{xy}{ab}-\frac{z}{c}\right)^2\\   
\{\,a\,t^2,\,b\,t^3,\,c\,t^4\,\}\quad   
&&\longmapsto&&\quad\left(\frac{x^3}{a^3}+\frac{3xz}{ac}-\frac{4y^2}{b^2}\right)^2&=\left(\frac{x^2}{a^2}-\frac{z}{c}\right)^3\\  
\{\,a\,t,\,b\,t^3,\,c\,t^4\,\}\quad   
&&\longmapsto&&\quad16\left(\frac{xy}{ab}-\frac{z}{c}\right)^3&=27\left(\frac{x^2z}{a^2c}-\frac{y^2}{b^2}\right)^2\\   
\{\,a\,t,\,b\,t^2,\,c\,t^4\,\}\quad   
&&\longmapsto&&\quad\left(\frac{4x^2y}{a^2b}-\frac{5y^2}{b^2}+\frac{z}{c}\right)^2&=16\left(\frac{y^2}{b^2}-\frac{z}{c}\right)\left(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y}{b}\right)^2\\
\end{align*}
\begin{align*}   
\begin{cases}  
\begin{split}  
\tfrac{x}{a}&=\left(v+1\right)u\\  
\tfrac{y}{b}&=\left(2v+1\right)u^2\\
\tfrac{z}{a}&=\left(3v+1\right)u^3
\end{split}  
\end{cases}\quad   
&\Longrightarrow\quad4\left(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y}{b}\right)\left(\frac{y^2}{b^2}-\frac{xz}{ac}\right)=\left(\frac{xy}{ab}-\frac{z}{c}\right)^2\\   
\begin{cases}  
\begin{split}  
\tfrac{x}{a}&=\left(2v+1\right)u^2\\  
\tfrac{y}{b}&=\left(3v+1\right)u^3\\
\tfrac{z}{a}&=\left(4v+1\right)u^4
\end{split}  
\end{cases}\quad   
&\Longrightarrow\quad\left(\frac{x^3}{a^3}+\frac{3xz}{ac}-\frac{4y^2}{b^2}\right)^2=\left(\frac{x^2}{a^2}-\frac{z}{c}\right)^3\\  
\begin{cases}  
\begin{split}  
\tfrac{x}{a}&=\left(v+1\right)u\\  
\tfrac{y}{b}&=\left(3v+1\right)u^3\\
\tfrac{z}{a}&=\left(4v+1\right)u^4
\end{split}  
\end{cases}\quad   
&\Longrightarrow\quad16\left(\frac{xy}{ab}-\frac{z}{c}\right)^3=27\left(\frac{x^2z}{a^2c}-\frac{y^2}{b^2}\right)^2\\   
\begin{cases}  
\begin{split}  
\tfrac{x}{a}&=\left(v+1\right)u\\  
\tfrac{y}{b}&=\left(2v+1\right)u^2\\
\tfrac{z}{a}&=\left(4v+1\right)u^4
\end{split}  
\end{cases}\quad   
&\Longrightarrow\quad\left(\frac{4x^2y}{a^2b}-\frac{5y^2}{b^2}+\frac{z}{c}\right)^2=16\left(\frac{y^2}{b^2}-\frac{z}{c}\right)\left(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y}{b}\right)^2\\
\end{align*}
...[code](4 (((v + 1) u)^2 - (2 v + 1) u^2) (((2 v + 1) u^2)^2
- (v + 1) u (3 v + 1) u^3)
- ((v + 1) u (2 v + 1) u^2 - (3 v + 1) u^3)^2) // Expand
(((2 v + 1) u^2)^3 + 3 (2 v + 1) u^2 (4 v + 1) u^4
- 4 ((3 v + 1) u^3)^2)^2 - (((2 v + 1) u^2)^2
- (4 v + 1) u^4)^3 // Expand
16 ((v + 1) u (3 v + 1) u^3 - (4 v + 1) u^4)^3 -
27 (((v + 1) u)^2 (4 v + 1) u^4 - ((3 v + 1) u^3)^2)^2 // Expand
((4 ((v + 1) u)^2 (2 v + 1) u^2
- 5 ((2 v + 1) u^2)^2 + (4 v + 1) u^4)^2
- 16 (((2 v + 1) u^2)^2 - (4 v + 1) u^4)
(((v + 1) u)^2 - (2 v + 1) u^2)^2) // Expand[/code]...[code]
Resultant[y - 2 u x + u^2, z - 3 u^2 x + 2 u^3, u]
Resultant[2 y - 3 u x + u^3, z - 2 u^2 x + u^4, u]
Resultant[y - 3 u^2 x + 2 u^3, z - 4 u^3 x + 3 u^4, u]
Resultant[y - 2 u x + u^2, z - 4 u^3 x + 3 u^4, u]
[/code]...
\begin{align*}
\{\,t,\,t^2,\,t^3\,\}\quad   
&\longmapsto\quad
\begin{cases}  
\begin{split}  
&y-2ux+u^2\\
&z-3u^2x+2u^3\\
&u
\end{split}  
\end{cases}\\

\{\,t^2,\,t^3,\,t^4\,\}\quad   
&\longmapsto\quad
\begin{cases}  
\begin{split}  
&2y-3ux+u^3\\
&z-2u^2x+u^4\\
&u
\end{split}
\end{cases}\\

\{\,t,\,t^3,\,t^4\,\}\quad   
&\longmapsto\quad
\begin{cases}  
\begin{split}  
&y-3u^2x+2u^3\\
&z-4u^3x+3u^4\\
&u
\end{split}  
\end{cases}\\

\{\,t,\,t^2,\,t^4\,\}\quad   
&\longmapsto\quad
\begin{cases}  
\begin{split}  
&y-2ux+u^2\\
&z-4u^3x+3u^4\\
&u
\end{split}  
\end{cases}
\end{align*}

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