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游客 发表于 2018-11-18 16:06

正三角形,平面向量的数量积

[i=s] 本帖最后由 游客 于 2018-11-18 16:33 编辑 [/i]

[attach]6740[/attach]

[attach]6741[/attach]

敬畏数学 发表于 2018-11-20 08:41

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=28837&ptid=5741]1#[/url] [i]游客[/i] [/b]
法一求出F的轨迹也可以。

走走看看 发表于 2018-11-20 09:44

如果用(OB+BA)·(OB+BM)表示就变成了一元二次函数。
OA·OM=OB^2+3OBcosΘ+2。
这样表示行吗?

游客 发表于 2018-11-20 10:40

可以的 ,也是出现两变量,还要继续处理的。

isee 发表于 2018-11-20 17:03

[i=s] 本帖最后由 isee 于 2018-11-20 18:05 编辑 [/i]

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=28837&ptid=5741]1#[/url] [i]游客[/i] [/b]

题:$\triangle ABC$是边长为 2 的正三角形,点$B$在$x$轴正半轴上,点$C$在$y$轴正半轴上,点$A$在第一象限内,点$M$为边$AB$的中点,则$\vv{OA}\cdot \vv{OM}$的最大值为______.

硬扯下背景的话,点$A$的轨迹是椭圆,于是在本题的坐标系下是比较复杂的(运算量)。

记点$C(0,c),B(b,0)$,则$$\vv{CA}=\vv{CB}\cdot \left(\cos \frac \pi3+\mathrm i\sin\frac \pi3\right)=\frac 12b+\frac{\sqrt 3}2c+\left(\frac{\sqrt 3}2b-\frac 12c\right)\mathrm i.$$

进一步$$\vv{OA}=\vv{OC}+\vv{CA}=\frac 12b+\frac{\sqrt 3}2c+\left(\frac{\sqrt 3}2b+\frac 12c\right)\mathrm i.$$

$$\vv{OM}=\frac 12(\vv{OA}+\vv{OB})=\frac 34b+\frac{\sqrt 3}4c+\left(\frac{\sqrt 3}4b+\frac 14c\right)\mathrm i.$$

所以$$\vv{OA}\cdot \vv{OM}=\frac 34b^2+\frac{3\sqrt 3}4bc+\frac 12c^2.$$

又$$b^2+c^2=4\Rightarrow b=2\cos\theta>0,c=2\sin\theta>0.$$

于是$$\vv{OA}\cdot \vv{OM}=\frac{3\sqrt{3}}3\sin 2\theta-\frac 12\cos 2\theta+\frac 52=\sqrt 7\sin(\theta+\varphi)+\frac 52,\tan \varphi=-\frac{\sqrt 3}9.$$

走走看看 发表于 2022-3-4 08:03

[i=s] 本帖最后由 走走看看 于 2022-3-4 08:05 编辑 [/i]

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=28858&ptid=5741]5#[/url] [i]isee[/i] [/b]

可设∠OAC=θ,则A(2cosθ,0),M(2cosθ+cos(120°-θ),sin(120°-θ))。

则 $\vv{OA}·\vv{OM}=4cos^2θ+2cosθcos(120°-θ)=3cos^2θ+\sqrt{3}sinθcosθ=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}sin2θ+\frac{3}{2}cos2θ  ≤\frac{3}{2}+\sqrt{3}$

走走看看 发表于 2022-3-4 08:13

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=28837&ptid=5741]1#[/url] [i]游客[/i] [/b]

设∠BCO=θ,则C(2cosθ,0),A(2cosθ+2cos(120°-θ),2sin(120°-θ)),M(2cosθ+cos(120°-θ),sin(120°-θ))

很容易化简$\vv{OA}\vv{OM}=cos^2θ+3\sqrt{3}sinθcosθ+2≤\frac{5}{2}+\sqrt{\frac{27+1}{4}}=\frac{5}{2}+\sqrt{7}$。

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