悠闲数学娱乐论坛(第2版) » 初等数学讨论 » 一个群里的数列不等式

2009 发表于 2018-10-14 11:50

一个群里的数列不等式

如图
已经有高数解法,看看有没有高中解法,放缩法之流?

kuing 发表于 2018-10-14 11:59

字要不要这么大……排版还那么难看……

kuing 发表于 2018-10-14 12:23

用一下Abel，发现这个和是可以求粗来嘀……

记原不等式左边为 `f`，则
\[f=\sum_{i=2}^n\left( 1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1{i-1} \right)\frac1{2^{i-1}}-\sum_{i=2}^n\frac1{i\cdot2^{i-1}},\]
令
\begin{align*}
a_i&=\frac1{2^{i-1}},\\
b_i&=1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1{i-1},\\
S_i&=a_2+a_3+\cdots+a_i=1-\frac1{2^{i-1}},
\end{align*}
则
\begin{align*}
f&=\sum_{i=2}^na_ib_i-\sum_{i=2}^n\frac1{i\cdot2^{i-1}}\\
&=\sum_{i=2}^nS_i(b_i-b_{i+1})+S_nb_{n+1}-\sum_{i=2}^n\frac1{i\cdot2^{i-1}}\\
&=\sum_{i=2}^n\left( 1-\frac1{2^{i-1}} \right)\left( -\frac1i \right)+\left( 1-\frac1{2^{n-1}} \right)b_{n+1}-\sum_{i=2}^n\frac1{i\cdot2^{i-1}}\\
&=\sum_{i=2}^n\left( -\frac1i \right)+\left( 1-\frac1{2^{n-1}} \right)b_{n+1}\\
&=1-b_{n+1}+\left( 1-\frac1{2^{n-1}} \right)b_{n+1}\\
&=1-\frac1{2^{n-1}}b_{n+1},
\end{align*}
也就是说有等式
\[\sum_{i=2}^n\left( 1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1{i-1}-\frac1i \right)\frac1{2^{i-1}}=1-\frac1{2^{n-1}}\left( 1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n \right).\]

isee 发表于 2018-10-14 15:52

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=28499&ptid=5623]3#[/url] [i]kuing[/i] [/b]


阿贝尔恒等式？积分的吧

kuing 发表于 2018-10-14 15:56

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=28502&ptid=5623]4#[/url] [i]isee[/i] [/b]

积分的我不了解，我用的是求和的那个。
不过积分其实也是一种求和，估计也是本质相同的公式。

Infinity 发表于 2018-10-20 09:43

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=28502&ptid=5623]4#[/url] [i]isee[/i] [/b]


    阿贝尔求和是离散形式的分部积分法，分部积分法是连续形式的阿贝尔求和。

睡神 发表于 2018-10-20 19:36

[attach]6695[/attach]

色k 发表于 2018-10-21 00:10

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=28627&ptid=5623]7#[/url] [i]睡神[/i] [/b]

这个好[img]http://kuing.orzweb.net/attachments/month_1309/1309021709b7e280a8f376bd26.gif[/img][img]http://kuing.orzweb.net/attachments/month_1309/1309021709b7e280a8f376bd26.gif[/img][img]http://kuing.orzweb.net/attachments/month_1309/1309021709b7e280a8f376bd26.gif[/img]

战巡 发表于 2018-10-21 00:31

[i=s] 本帖最后由 战巡 于 2018-10-21 00:44 编辑 [/i]

哦，这不群里那个题么...
那个高数解法是我给的，当时正准备睡觉，被他缠着问，根本没空研究，就直接正面强攻3分钟拿下来了
\[\sum_{i=2}^\infty(\sum_{k=1}^{i-1}\frac{1}{k}-\frac{1}{i})\frac{1}{2^{i-1}}\]
\[=\sum_{i=2}^\infty(\frac{1}{2^{i-1}}\sum_{k=1}^{i-1}\frac{1}{k})-\sum_{i=2}^\infty\frac{1}{i·2^{i-1}}\]
\[=\sum_{i=2}^\infty(\frac{1}{2^{i-1}}\int_0^1\frac{x^{i-1}-1}{x-1}dx)-(2\ln(2)-1)\]
\[=\int_0^1\frac{1}{x-1}(\sum_{i=2}^\infty[(\frac{x}{2})^{i-1}-\frac{1}{2^{i-1}}]dx-(2\ln(2)-1)\]
\[=\int_0^1\frac{2}{2-x}dx-(2\ln(2)-1)=1\]

色k 发表于 2018-10-21 00:38

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=28629&ptid=5623]9#[/url] [i]战巡[/i] [/b]

[img]http://kuing.orzweb.net/attachments/month_1309/1309021709bf9f48459392402d.gif[/img]强攻也不错[img]http://kuing.orzweb.net/attachments/month_1309/1309021709b7e280a8f376bd26.gif[/img]
PS、第一行打漏了 1/k

睡神 发表于 2018-10-21 00:43

太高深莫测了…膜拜

2009 发表于 2018-10-24 10:31

解法都很精彩!谢谢大家!!

查看完整版本: 一个群里的数列不等式