有没有这样的连续函数，存在一点，任意阶导数都是0
[i=s] 本帖最后由 abababa 于 2018-10-1 13:56 编辑 [/i]是否存在定义在$(0,+\infty)$上的函数$f(x)$，满足：1.不是常数函数，2. 是连续函数，3.无穷次可导，4.对任意给定的$n\in\mathbb{Z^+}$都存在定义域中的一点$c$，使得$f'(c)=f''(c)=\cdots=f^{(n)}(c)=0$。
是否对任意的非常数的定义在$(0,+\infty)$上的连续函数$f(x)$，满足无穷次可导，对任意给定的$n\in\mathbb{Z^+}$都存在定义域中的一点$c$，使得$f'(c)=f''(c)=\cdots=f^{(n)}(c)=0$。 定义当 `x\leqslant0` 时 `f(x)=0`，当 `x>0` 时 `f(x)=e^{-1/x}`，那么 `f^{(n)}(0)=0` 对任意正整数 `n` 成立。 [i=s] 本帖最后由 abababa 于 2018-10-1 13:54 编辑 [/i]
[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=28390&ptid=5606]2#[/url] [i]kuing[/i] [/b]
谢谢，可是$x=0$不在定义域里。我的主楼说得有点不明确，应该是存在一点$c\in(0,+\infty)$。
另外是否对任意的连续函数，都存在这样的点$c$？我把这个也加到主楼里。 [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=28391&ptid=5606]3#[/url] [i]abababa[/i] [/b]
这有什么要紧的，把函数平移一下不就好了 [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=28391&ptid=5606]3#[/url] [i]abababa[/i] [/b]
至于“另外是否对任意的连续函数，都存在这样的点c？”这个显然不行啊，比如 sinx [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=28393&ptid=5606]5#[/url] [i]kuing[/i] [/b]
谢谢。那么对于满足主楼条件1,2,3的函数，再加上什么条件，就能保证这一类函数一定存在这样的点$c$呢？ “正常”函数一般是很困难的
假设一个函数在零点的展开为
\[f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...\]
那么
\[f^{(n)}(0)=a_n·n!\]
如果要任意皆导数都为$0$，则需要$a_n=0$对$n\ge 1$全部成立，也就是一个常函数
如果不想要常函数，唯一的办法是拼接（拼接的函数不能像上面这样展开），就跟kk在2楼干的一样，那么此时不管其他地方怎么拼，这个无穷阶导数都为0的点肯定是在它的常函数段上
极端一点的话，你甚至可以把kk在2楼给的例子负数段也拼上非常数的函数，但0点这个位置仍然是个常函数，哪怕只有一个单点，它也是个强行拼进去的常数段 [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=28395&ptid=5606]7#[/url] [i]战巡[/i] [/b]
谢谢，我开始也想到了泰勒展开，不过只有解析函数才行，并且这样得到的结果就必须是常数函数。然后就是普通的不解析但能无穷次求导的函数，但是这个又不是所有连续函数都行，所以想加点条件，让这类函数都满足条件。
页:
[1]