悠闲数学娱乐论坛(第2版) » 初等数学讨论 » 求函数的极值

TSC999 发表于 2018-9-30 18:35

求函数的极值

[i=s] 本帖最后由 TSC999 于 2018-9-30 18:37 编辑 [/i]

证明下面这个函数在 (0, ∞) 上的极值：
最大值是 4，最小值是 1+e。

[size=5]$ \left(1+\frac{1}{x}\right)^x+(1+x)^{1/x} $[/size]

TSC999 发表于 2018-9-30 18:41

[i=s] 本帖最后由 TSC999 于 2018-9-30 18:50 编辑 [/i]

这个问题摘自数学研发网站：
[url]https://bbs.emath.ac.cn/thread-15509-1-1.html[/url]

感到其中所用的各种方法都太复杂了，有没有简单点的方法？

函数图像如下：
[attach]6647[/attach]

kuing 发表于 2018-9-30 19:31

最大值我去年就解过了：[url]http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=4465[/url]

TSC999 发表于 2018-10-1 05:34

[i=s] 本帖最后由 TSC999 于 2018-10-1 10:01 编辑 [/i]

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=28381&ptid=5604]3#[/url] [i]kuing[/i] [/b]

这个也是比较复杂的。最小值呢？
另外，二阶导数的结果有一处错误，跟 mathematica 算的不一样。

kuing 发表于 2018-10-1 09:58

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=28383&ptid=5604]4#[/url] [i]TSC999[/i] [/b]

就求个二阶导数以及一条切线得出菊部，这也算复杂那我也无话可说啦……

TSC999 发表于 2018-10-1 10:01

[i=s] 本帖最后由 TSC999 于 2018-10-1 10:09 编辑 [/i]

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=28384&ptid=5604]5#[/url] [i]kuing[/i] [/b]

二阶导数的结果有一处错误（但不影响后面的结果），跟 mathematica 算的不一样。

kuing 发表于 2018-10-1 11:09

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=28385&ptid=5604]6#[/url] [i]TSC999[/i] [/b]

嗯，那里应该是笔误，二阶导那里第一项的指数里没有 1+ ，我去注明一下

谢谢指出

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