悠闲数学娱乐论坛(第2版) » 初等数学讨论 » 求助：线性和式的范围

敬畏数学 发表于 2018-9-27 09:48

求助：线性和式的范围

a,b均为正数，$2a+2b\leqslant 15,\frac{3}{b}+\frac{4}{a}\leqslant 2$,则3a+4b的取值范围

力工 发表于 2018-9-27 11:08

数学规划问题。您肯定想如何用不等式解决吧。

力工 发表于 2018-9-27 13:04

最小值$f(3,4)=24$,最大值$f(3,9/2)=27$

敬畏数学 发表于 2018-9-27 14:06

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=28363&ptid=5602]3#[/url] [i]力工[/i] [/b]
没有限制。把过程写下。谢谢！

kuing 发表于 2018-9-27 14:38

一方面\[3a+4b=\frac{12}{4/a}+\frac{12}{3/b}\geqslant\frac{12(1+1)^2}{4/a+3/b}\geqslant\frac{12(1+1)^2}2=24,\]当 `a=4`, `b=3` 取等；另一方面，由条件有\[2\geqslant\frac3b+\frac4a\geqslant\frac6{15-2a}+\frac4a,\]解得 `3\leqslant a\leqslant5`，故\[3a+4b=4a+4b-a\leqslant30-3=27,\]当 `a=3`, `b=9/2` 取等。

敬畏数学 发表于 2018-9-27 21:57

谢谢以上两位高手相助！似乎用几何法俗称“线性规划”来得更易理解一点。3#有个笔误：最小值24，当a=4,b=3取得（即直线3a+4b=t与双曲线3a+4b=2ab相切时）.最大值为27当a=3,b=9/2取得(即直线3a+4b=t过2a+2b=15与双曲线3a+4b=2ab的交点).

kuing 发表于 2018-9-27 22:41

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=28368&ptid=5602]6#[/url] [i]敬畏数学[/i] [/b]

画图是最自然的，老实讲，我也是根据图形来用不等式的，所以5#可以算是装逼解法。
比如说，由图知和双曲线相切时最小，那就和另外那条直线无关，也就是相当于已知 3/b+4/a<=2 求 3a+4b 最小，于是柯西一定可行，可放心使用。
至于最大值方面懒得啰嗦了自己想。

其妙 发表于 2018-9-28 23:57

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=28369&ptid=5602]7#[/url] [i]kuing[/i] [/b]
这就是 数形结合 的妙处（“形”得出思路，“数”写出过程）。
而且，解答书写不一定要按照最开始的思路写下去（这里有一个怪现象，如果不按照原始的思路写下去，就会认为是装逼，因为他们觉得书写不能隐藏思路，需要写的自然一些），在大学教材的定理证明就很简洁（隐藏了思路的发现过程），按照他们的要求的话，还需要把定理的发现过程也写出来才更自然，否则就是冰冷的美丽（俗称装逼{:lol:}）

游客 发表于 2018-9-29 08:51

[attach]6645[/attach]

[attach]6646[/attach]

装逼是绝对隐藏了什么必需的东西，但隐藏的东西若不是必需的，就不算装逼。

dahool 发表于 2018-10-2 11:23

装逼也是一种本事{:lol:}
有些人就是想装也装不出来了，例如我{:cry:}

查看完整版本: 求助：线性和式的范围