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青青子衿 发表于 2018-7-26 17:14

过四定点的圆锥曲线的中心轨迹?

过四定点的圆锥曲线,其中心的轨迹还是圆锥曲线
[attach]6480[/attach]

kuing 发表于 2018-7-26 22:27

设四边形的两对对边的方程别为 `f_1 = A_1 x + B_1 y + C_1=0`, `f_2 = A_2 x + B_2 y + C_2=0` 及 `f_3 = A_3 x + B_3 y + C_3=0`, `f_4 = A_4 x + B_4 y + C_4=0`,则过四顶点的二次曲线系(`f_3f_4=0` 除外)为
\[f = f_1 f_2 + t\cdot f_3 f_4=0,\]
其中心为以下关于 `x`, `y` 的方程组的解
\[\led\frac{\partial f}{\partial x}&=0, \\
\frac{\partial f}{\partial y}&=0,\endled\]
解出来之后再消去参数 `t` 即得其中心的轨迹。

具体过程当然是交给MMC了,最后整理时正好可以用上昨天[url=http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=5506]这帖[/url]的整理方法。

最终结果为:
\begin{align*}
& 2 (A_2 A_3 A_4 B_1 + A_1 A_3 A_4 B_2 - A_1 A_2 A_4 B_3 - A_1 A_2 A_3 B_4) x^2 \\
& + 4 (A_3 A_4 B_1 B_2 - A_1 A_2 B_3 B_4) x y \\
& + 2 (A_4 B_1 B_2 B_3 + A_3 B_1 B_2 B_4 - A_2 B_1 B_3 B_4 - A_1 B_2 B_3 B_4) y^2 \\
& + (2 A_3 A_4 B_2 C_1 - A_2 A_4 B_3 C_1 - A_2 A_3 B_4 C_1 + 2 A_3 A_4 B_1 C_2 \\
& - A_1 A_4 B_3 C_2 - A_1 A_3 B_4 C_2 + A_2 A_4 B_1 C_3 + A_1 A_4 B_2 C_3 \\
& - 2 A_1 A_2 B_4 C_3 + A_2 A_3 B_1 C_4 + A_1 A_3 B_2 C_4 - 2 A_1 A_2 B_3 C_4) x \\
& + (A_4 B_2 B_3 C_1 + A_3 B_2 B_4 C_1 - 2 A_2 B_3 B_4 C_1 + A_4 B_1 B_3 C_2 \\
& + A_3 B_1 B_4 C_2 - 2 A_1 B_3 B_4 C_2 + 2 A_4 B_1 B_2 C_3 - A_2 B_1 B_4 C_3 \\
& - A_1 B_2 B_4 C_3 + 2 A_3 B_1 B_2 C_4 - A_2 B_1 B_3 C_4 - A_1 B_2 B_3 C_4) y \\
& + A_4 B_2 C_1 C_3 - A_2 B_4 C_1 C_3 + A_4 B_1 C_2 C_3 - A_1 B_4 C_2 C_3 \\
& + A_3 B_2 C_1 C_4 - A_2 B_3 C_1 C_4 + A_3 B_1 C_2 C_4 - A_1 B_3 C_2 C_4 = 0,
\end{align*}
记 `x^2`, `xy`, `y^2` 的系数分别为 `A`, `B`, `C`,则二次曲线的类型由 `4AC-B^2` 的正负零决定,对于上述方程来说,此值可分解为
\[-(A_3 B_1 - A_1 B_3) (A_3 B_2 - A_2 B_3) (A_4 B_1 - A_1 B_4) (A_4 B_2 - A_2 B_4),\]
如果四条直线的斜率均存在,记为 `k_i`, `i=1`, `2`, `3`, `4`,则上式化为
\[-(k_1 - k_3) (k_2 - k_3) (k_1 - k_4) (k_2 - k_4),\]
由于要有四交点,所以上式一定不会为零,所以中心轨迹虽然一定是二次曲线但它不会是抛物线。

isee 发表于 2018-7-27 08:04

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=27658&ptid=5508]2#[/url] [i]kuing[/i] [/b]

那楼主怎么画出抛物线来了......

色k 发表于 2018-7-27 09:27

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=27661&ptid=5508]3#[/url] [i]isee[/i] [/b]

???那是双曲线好吧

青青子衿 发表于 2018-7-27 10:52

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=27661&ptid=5508]3#[/url] [i]isee[/i] [/b]
[quote]回复  kuing
那楼主怎么画出抛物线来了......
[size=2][color=#999999]isee 发表于 2018-7-27 08:04[/color] [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=27661&ptid=5508][img]http://kuing.orzweb.net/images/common/back.gif[/img][/url][/size][/quote]
[attach]6481[/attach]
你说的是上面这帧红色的曲线吗?
kk说的是,无论四边形怎么变化,蓝色的曲线始终不为“抛物线”……

isee 发表于 2018-7-27 11:09

哇哈哈哈~~

我看串了

kuing 发表于 2018-7-27 16:39

昨天撸得太随便,在消参的时候没作更细致的分析,以至于有两类特殊情况没有讨论,下面补充写一下。

首先,为了方便起见,直线方程就不用一般式了,改用 `y=kx+b` 的形式,因为我们总可以适当地建系使四边的斜率都存在。

设四边形的两对对边的方程别为 `f_1 = k_1 x - y + b_1=0`, `f_2 = k_2 x - y + b_2=0` 及 `f_3 = k_3 x - y + b_3=0`, `f_4 = k_4 x - y + b_4=0`,则过四顶点的二次曲线系(`f_3f_4=0` 除外)为
\[f = f_1 f_2 + t\cdot f_3 f_4=0,\]
其中心为以下关于 `x`, `y` 的方程组的解
\[\led\frac{\partial f}{\partial x}&=0, \\
\frac{\partial f}{\partial y}&=0,\endled\]
解得
\[(x,y)=\left(\frac XM,\frac YM\right), \quad (*)\]
其中
\begin{align*}
X={}&{-}(b_1 - b_2) (k_1 - k_2) + \bigl(b_1 (2 k_2 - k_3 - k_4) + b_2 (2 k_1 - k_3 - k_4) \\
&+ b_3 (2 k_4 - k_1 - k_2) + b_4 (2 k_3 - k_1 - k_2)\bigr) t - (b_3 - b_4) (k_3 - k_4) t^2, \\
Y={}&{-}(b_1 k_2 - b_2 k_1) (k_1 - k_2) + \bigl(b_1 (k_2 k_3 + k_2 k_4 - 2 k_3 k_4) + b_2 (k_1 k_3 + k_1 k_4 - 2 k_3 k_4) \\
&+ b_3 (k_4 k_1 + k_4 k_2 - 2 k_1 k_2) + b_4 (k_3 k_1 + k_3 k_2 - 2 k_1 k_2)\bigr) t - (b_3 k_4 - b_4 k_3) (k_3 - k_4) t^2, \\
M={}&(k_1 - k_2)^2 - 2 (2 k_1 k_2 - k_1 k_3 - k_2 k_3 - k_1 k_4 - k_2 k_4 + 2 k_3 k_4) t + (k_3 - k_4)^2 t^2.
\end{align*}

(1)四边形为平行四边形时,即 `k_2=k_1` 且 `k_4=k_3` 时,式 (*) 可以化简为
\[(x,y)=\left(-\frac{b_1+b_2-b_3-b_4}{2(k_1-k_3)},-\frac{(b_1+b_2)k_3-(b_3+b_4)k_1}{2(k_1-k_3)}\right),\]
所以这种情况的中心轨迹是一个定点,并且不难证明[b]这个定点就是平行四边形的中心[/b];

(2)当四边形为梯形时,即 `k_2=k_1` 异或 `k_4=k_3` 时,易见此时 `X/M` 及 `Y/M` 都必能化简为分子分母都是关于 `t` 的一次式,那么消 `t` 后的方程也不会高于一次,比如说,当 `k_2=k_1` 且 `k_4\ne k_3` 时,式 (*) 消 `t` 后得
\[(k_1 k_3 + k_1 k_4 - 2 k_3 k_4) x + (-2 k_1 + k_3 + k_4) y + b_3 k_1 + b_4 k_1 - b_4 k_3 - b_3 k_4 = 0,\]
易证此时两系数不会同时为零,所以上式一定是直线方程,并且不难证明[b]这条直线经过梯形上下底的中点[/b]。
当 `k_2\ne k_1` 且 `k_4=k_3` 时类似,所以这种情况的中心轨迹是一条直线;

(3)当 `k_2\ne k_1` 且 `k_4\ne k_3` 时,才是 2# 的结果。

综上,“过四定点的圆锥曲线,其中心的轨迹还是圆锥曲线”这句话并不准确,应该排除平行四边形和梯形两种情况。

kuing 发表于 2018-7-27 18:07

两种特殊情况的动图:

[attach]6482[/attach]

[attach]6483[/attach]

hejoseph 发表于 2018-8-31 14:08

还有一个结论:如果这个四边形不是梯形或平行四边形,过这四点中心的轨迹的中心是这个四边形两组对边中点连线的交点。
[attach]6574[/attach]

hejoseph 发表于 2018-8-31 16:03

另外,如果允许出现“线心”这种情况(两平行直线的中心是与这两条直线距离都相等的直线),那么结论就比较统一了:所求中心的轨迹是二次曲线,其中梯形、平行四边形的轨迹是过两组对边中点连线的两条直线。所求的轨迹必定过所有边、对角线的中点,也必定过对边或两对角线的交点(若存在)。

青青子衿 发表于 2018-11-19 18:42

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=27657&ptid=5508]1#[/url] [i]青青子衿[/i] [/b]
五点圆锥曲线及相关联想
[url]https://wuyudi.github.io/2018/09/12/five_points_conic/[/url]

青青子衿 发表于 2019-4-11 17:23

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=28069&ptid=5508]10#[/url] [i]hejoseph[/i] [/b]
谢谢何版主!{:handshake:}
何版主所求出的 四边形\(\,ABCD\,\,\)的九点曲线离心率\(\,e\,\),其形式也好漂亮!
\begin{align*}
\dfrac{e^4}{\left(e^2-2\right)^2}=\dfrac{\cos^2\left(A+B\right)+\cos^2\left(B+C\right)-2\cos\left(A+B\right)\cos\left(B+C\right)\cos\left(A+C\right)}{\sin^2\left(A+C\right)}
\end{align*}
【注】:四边形的九点曲线 就是 过四定点圆锥曲线其中心的轨迹

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