悠闲数学娱乐论坛(第2版) » 初等数学讨论 » 三角形面积问题

敬畏数学 发表于 2018-7-24 08:27

三角形面积问题

三角形三条中线长9，12，15，则三角形面积------？如果是三角平分线长呢？三高线长呢？

力工 发表于 2018-7-24 08:30

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=27618&ptid=5505]1#[/url] [i]敬畏数学[/i] [/b]
这样的问题应该有结论（公式）的。坐等高人大神。

lemondian 发表于 2018-7-24 11:08

[attach]6470[/attach]

lemondian 发表于 2018-7-24 11:09

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=27624&ptid=5505]3#[/url] [i]lemondian[/i] [/b]


    （4）中打错了一个字：解-->角

敬畏数学 发表于 2018-7-24 11:38

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=27624&ptid=5505]3#[/url] [i]lemondian[/i] [/b]
结果很好的一组结论。中线问题用纯平几解决有点复杂，但用向量解决简单，求出两条中线的夹角即可。其他几个没有细想过程。

kuing 发表于 2018-7-24 12:28

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=27628&ptid=5505]5#[/url] [i]敬畏数学[/i] [/b]

中线的用纯平几才简单呢，一个图搞定，简直可以无字证明。

[attach]6471[/attach]

结论：设原三角形边长 a,b,c，面积为 S，则其三条中线 ma, mb, mc 必能构成三角形，且这个新三角形的三条中线长分别为 3a/4, 3b/4, 3c/4，面积为 3S/4。

从而直接得到 3# 的（1）。

更多内容请自行百度“中线对偶定理”。

kuing 发表于 2018-7-24 12:33

高线的[s]我以前可能也做过，不过懒得找了。[/s]更加简单，直接利用 a=2S/h_a 立得。

至于后面的两个，我不想撸了，尼玛最近连续进了两次坑（[url=http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=5480]这里[/url]和[url=http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=5498]这里[/url]），都是一组四题，都是前面的简单，直到撸第四题才发现TNND进了坑，越撸越暴li，这回绝不再上当了[img]http://kuing.orzweb.net/attachments/month_1309/1309021709e2d7da5addcd58d9.gif[/img]……

lemondian 发表于 2018-7-24 12:54

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=27631&ptid=5505]7#[/url] [i]kuing[/i] [/b]
呵呵，连kuing神都说难搞，就真的难搞了！{:lol:}

kuing 发表于 2018-7-24 12:56

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=27632&ptid=5505]8#[/url] [i]lemondian[/i] [/b]

我可没说难搞，因为我根本不打算搞，还没思考过哩，怕又是一个坑

TSC999 发表于 2018-7-24 13:39

[i=s] 本帖最后由 TSC999 于 2018-7-24 23:12 编辑 [/i]

3# 楼中的结论应该是对的。
其中，知道三个角的平分线长，应该能够唯一地确定三角形的各边长 a, b, c，当然也就能确定它的面积了。
由平分线长 ta, tb, tc 求边长 a, b, c 的解析表达式是客观存在的，只是我们写不出来！也没见任何一本数学手册上有此公式。
由平分线长求三边, 用 mathematica 跑了一下，长时间给不出结果。

实际画一个三角形，实测：a = 7629, b = 5143, c = 7157, ta = 4759, tb = 6928,  tc = 5188。用 mathematica 求数值解，可得到正确结果：

[attach]6474[/attach]

不过数值解不是我们关心的，我想要的是解析公式！

敬畏数学 发表于 2018-7-25 08:06

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=27636&ptid=5505]10#[/url] [i]TSC999[/i] [/b]
我这两天也在静思苦想，没有结果。第一个中线高手已经轻松解答。中线问题是某名牌高校一道思考题。感谢诸位高手！

TSC999 发表于 2018-7-25 09:30

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=27639&ptid=5505]11#[/url] [i]敬畏数学[/i] [/b]
研究数学适可而止，毕竟数学这东西水太深！许多看起来很简单的问题，有可能找不到满意结果。

TSC999 发表于 2018-7-25 10:11

经检验，3# 的公式 (3) 是对的。

[attach]6476[/attach]

敬畏数学 发表于 2018-7-25 12:02

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=27640&ptid=5505]12#[/url] [i]TSC999[/i] [/b]
对的。思考一下而已，能有结论更好。谢谢帮忙！

kuing 发表于 2018-7-25 14:59

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=27624&ptid=5505]3#[/url] [i]lemondian[/i] [/b]

还是撸了下关于（3）的红字：

设面积为 `S`，记 `W=t_a^2+t_b^2+t_c^2`, `T=t_a^2t_b^2+t_b^2t_c^2+t_c^2t_a^2`, `F=t_a^2t_b^2t_c^2`，则有：

- 16777216 F^4 (4 F W - T^2) [color=blue]S^20[/color] - 2097152 F^2 ( - T^6 + 6 F W T^4 + 2 F^2 T^3 - 8 F^2 W^2 T^2 - 8 F^3 W T + 10 F^4) [color=blue]S^18[/color] + 65536 (T^10 - 8 F W T^8 + 12 F^2 T^7 + 16 F^2 W^2 T^6 - 56 F^3 W T^5 - 120 F^4 T^4 + 64 F^4 W^2 T^3 + 428 F^5 W T^2 + 90 F^6 T - 128 F^5 W^3 T - 112 F^6 W^2) [color=blue]S^16[/color] - 16384 F (2 W T^9 + 5 F T^8 - 16 F W^2 T^7 + 5 F^2 W T^6 + 58 F^3 T^5 + 32 F^2 W^3 T^5 - 104 F^3 W^2 T^4 - 134 F^4 W T^3 - 392 F^5 T^2 + 32 F^4 W^3 T^2 + 528 F^5 W^2 T - 64 F^5 W^4 + 167 F^6 W) [color=blue]S^14[/color] - 256 F^2 ( - 14 T^9 - 16 W^2 T^8 - 24 F W T^7 + 128 F W^3 T^6 - 432 F^2 T^6 + 64 F^2 W^2 T^5 - 256 F^2 W^4 T^4 - 28 F^3 W T^4 - 500 F^4 T^3 + 1024 F^3 W^3 T^3 - 1824 F^4 W^2 T^2 + 10832 F^5 W T + 519 F^6 - 3072 F^5 W^3) [color=blue]S^12[/color] - 32 F^3 (36 W T^8 + 94 F T^7 - 144 F W^2 T^6 + 744 F^2 W T^5 + 2243 F^3 T^4 - 1536 F^3 W^2 T^3 - 3648 F^4 W T^2 + 9328 F^5 T + 2048 F^4 W^3 T - 7680 F^5 W^2) [color=blue]S^10[/color] + F^4 (81 T^8 + 768 F W T^6 + 1568 F^2 T^5 - 3072 F^2 W^2 T^4 + 24064 F^3 W T^3 - 21184 F^4 T^2 - 24576 F^4 W^2 T + 37888 F^5 W) [color=blue]S^8[/color] + 4 F^6 ( - 27 T^6 - 32 F W T^4 - 352 F^2 T^3 + 128 F^2 W^2 T^2 - 320 F^3 W T + 424 F^4) [color=blue]S^6[/color] + 2 F^8 T (27 T^3 + 80 F^2) [color=blue]S^4[/color] - 12 F^10 T^2 [color=blue]S^2[/color] + F^12  = 0

乃是关于 `S^2` 的十次方程{:lol:}{:lol:}{:lol:}

kuing 发表于 2018-7-25 15:26

用 mathematica 验证楼上的公式：[code]kkkk = -16777216 F^4 (4 F W - T^2) S^20 -
   2097152 F^2 (-T^6 + 6 F W T^4 + 2 F^2 T^3 - 8 F^2 W^2 T^2 -
      8 F^3 W T + 10 F^4) S^18 +
   65536 (T^10 - 8 F W T^8 + 12 F^2 T^7 + 16 F^2 W^2 T^6 -
      56 F^3 W T^5 - 120 F^4 T^4 + 64 F^4 W^2 T^3 + 428 F^5 W T^2 +
      90 F^6 T - 128 F^5 W^3 T - 112 F^6 W^2) S^16 -
   16384 F (2 W T^9 + 5 F T^8 - 16 F W^2 T^7 + 5 F^2 W T^6 +
      58 F^3 T^5 + 32 F^2 W^3 T^5 - 104 F^3 W^2 T^4 - 134 F^4 W T^3 -
      392 F^5 T^2 + 32 F^4 W^3 T^2 + 528 F^5 W^2 T - 64 F^5 W^4 +
      167 F^6 W) S^14 -
   256 F^2 (-14 T^9 - 16 W^2 T^8 - 24 F W T^7 + 128 F W^3 T^6 -
      432 F^2 T^6 + 64 F^2 W^2 T^5 - 256 F^2 W^4 T^4 - 28 F^3 W T^4 -
      500 F^4 T^3 + 1024 F^3 W^3 T^3 - 1824 F^4 W^2 T^2 +
      10832 F^5 W T + 519 F^6 - 3072 F^5 W^3) S^12 -
   32 F^3 (36 W T^8 + 94 F T^7 - 144 F W^2 T^6 + 744 F^2 W T^5 +
      2243 F^3 T^4 - 1536 F^3 W^2 T^3 - 3648 F^4 W T^2 + 9328 F^5 T +
      2048 F^4 W^3 T - 7680 F^5 W^2) S^10 +
   F^4 (81 T^8 + 768 F W T^6 + 1568 F^2 T^5 - 3072 F^2 W^2 T^4 +
      24064 F^3 W T^3 - 21184 F^4 T^2 - 24576 F^4 W^2 T +
      37888 F^5 W) S^8 +
   4 F^6 (-27 T^6 - 32 F W T^4 - 352 F^2 T^3 + 128 F^2 W^2 T^2 -
      320 F^3 W T + 424 F^4) S^6 + 2 F^8 T (27 T^3 + 80 F^2) S^4 -
   12 F^10 T^2 S^2 + F^12;
kkkk /. {W -> ta2 + tb2 + tc2, T -> ta2 tb2 + tb2 tc2 + tc2 ta2,
   F -> ta2 tb2 tc2};
% /. {ta2 -> b c ((b + c)^2 - a^2)/(b + c)^2,
   tb2 -> a c ((a + c)^2 - b^2)/(a + c)^2,
   tc2 -> b a ((b + a)^2 - c^2)/(b + a)^2,
   S -> Sqrt[(a + b + c) (-a + b + c) (a - b + c) (a + b - c)]/4};
Factor[%][/code]如果输出 0 ，则公式正确。

lemondian 发表于 2018-7-25 20:16

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=27646&ptid=5505]16#[/url] [i]kuing[/i] [/b]


    kuing终于出手了！
可搞出一个这样的东东，吓人呀{:sweat:}

kuing 发表于 2018-7-25 20:30

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=27649&ptid=5505]17#[/url] [i]lemondian[/i] [/b]

就是为了吓吓你们{:titter:}

TSC999 发表于 2018-7-26 15:14

Kuing 真是厉害！推出了一个关于 S^2 的 10 次方程！即使用软件来解这个方程也是极困难的，况且要从多个解中找出合适的那一个才行。难怪上帝看着人类玩数学会暗自发笑。

kuing 发表于 2018-7-27 02:14

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=27655&ptid=5505]19#[/url] [i]TSC999[/i] [/b]

还没完哩，关于你前面想做的事：用 ta, tb, tc 解出三边。

记 `k=t_a^2`, `p=t_b^2+t_c^2`, `q=t_b^2t_c^2`，则有：

256 q (k^2 - p k + q)^2 (p^2 k^2 - 4 q k^2 - 2 p q k + q^2) [color=blue]a^20[/color] + 256 (p^4 k^7 - 4 p^2 q k^7 - 2 p^5 k^6 + 20 p q^2 k^6 + p^3 q k^6 + p^6 k^5 - 61 q^3 k^5 + 5 p^2 q^2 k^5 + 5 p^4 q k^5 - 3 p q^3 k^4 - p^3 q^2 k^4 - 6 p^5 q k^4 + 12 q^4 k^3 - 12 p^2 q^3 k^3 + 14 p^4 q^2 k^3 + 17 p q^4 k^2 - 16 p^3 q^3 k^2 - 7 q^5 k + 9 p^2 q^4 k - 2 p q^5) [color=blue]a^18[/color] - 32 (40 p^5 k^7 - 160 p^3 q k^7 - 24 p^6 k^6 + 256 q^3 k^6 + 660 p^2 q^2 k^6 - 155 p^4 q k^6 + 16 p^7 k^5 - 841 p q^3 k^5 + 334 p^3 q^2 k^5 + 25 p^5 q k^5 + 481 q^4 k^4 - 341 p^2 q^3 k^4 + 81 p^4 q^2 k^4 - 72 p^6 q k^4 + 232 p q^4 k^3 - 250 p^3 q^3 k^3 + 128 p^5 q^2 k^3 - 142 q^5 k^2 + 270 p^2 q^4 k^2 - 112 p^4 q^3 k^2 - 95 p q^5 k + 48 p^3 q^4 k - 7 q^6 - 8 p^2 q^5) [color=blue]a^16[/color] + 16 (16 k^5 p^8 - 2 k^6 p^7 - 64 k^4 q p^7 + 118 k^7 p^6 + 96 k^3 q^2 p^6 + 44 k^5 q p^6 - 64 k^2 q^3 p^5 + 50 k^4 q^2 p^5 - 793 k^6 q p^5 + 16 k q^4 p^4 - 296 k^3 q^3 p^4 + 830 k^5 q^2 p^4 - 280 k^7 q p^4 + 258 k^2 q^4 p^3 - 678 k^4 q^3 p^3 + 2006 k^6 q^2 p^3 - 36 k q^5 p^2 + 561 k^3 q^4 p^2 - 1756 k^5 q^3 p^2 - 768 k^7 q^2 p^2 - 18 q^6 p - 499 k^2 q^5 p + 1427 k^4 q^4 p + 960 k^6 q^3 p - 111 k q^6 - 226 k^3 q^5 + 65 k^5 q^4) [color=blue]a^14[/color] + (-288 k^6 p^8 - 720 k^7 p^7 - 288 k^5 q p^7 + 576 k^4 q^2 p^6 + 5521 k^6 q p^6 + 576 k^3 q^3 p^5 - 6650 k^5 q^2 p^5 - 5568 k^7 q p^5 - 288 k^2 q^4 p^4 + 2511 k^4 q^3 p^4 + 10716 k^6 q^2 p^4 - 288 k q^5 p^3 - 5020 k^3 q^4 p^3 + 20426 k^5 q^3 p^3 + 31744 k^7 q^2 p^3 + 1295 k^2 q^5 p^2 + 2170 k^4 q^4 p^2 - 65776 k^6 q^3 p^2 + 1830 k q^6 p + 12350 k^3 q^5 p - 19592 k^5 q^4 p + 8192 k^7 q^3 p + 81 q^7 + 5618 k^2 q^6 - 11311 k^4 q^5 + 14336 k^6 q^4) [color=blue]a^12[/color] + k (81 k^6 p^8 + 1254 k^5 q p^7 + 1215 k^4 q^2 p^6 + 3324 k^6 q p^6 + 84 k^3 q^3 p^5 - 16790 k^5 q^2 p^5 + 1215 k^2 q^4 p^4 - 5618 k^4 q^3 p^4 + 256 k^6 q^2 p^4 + 1254 k q^5 p^3 - 2572 k^3 q^4 p^3 + 23096 k^5 q^3 p^3 + 81 q^6 p^2 - 5720 k^2 q^5 p^2 - 6766 k^4 q^4 p^2 - 59392 k^6 q^3 p^2 - 5630 k q^6 p - 3524 k^3 q^5 p + 18944 k^5 q^4 p - 594 q^7 - 8622 k^2 q^6 + 18176 k^4 q^5) [color=blue]a^10[/color] + k^2 q (-432 k^5 p^7 - 2672 k^4 q p^6 - 3808 k^3 q^2 p^5 - 5312 k^5 q p^5 - 3808 k^2 q^3 p^4 + 20081 k^4 q^2 p^4 - 2672 k q^4 p^3 + 22788 k^3 q^3 p^3 + 15872 k^5 q^2 p^3 - 432 q^5 p^2 + 14790 k^2 q^4 p^2 - 28992 k^4 q^3 p^2 + 10756 k q^5 p - 12752 k^3 q^4 p + 49152 k^5 q^3 p + 1809 q^6 + 3248 k^2 q^5 - 4096 k^4 q^4) [color=blue]a^8[/color] - 16 k^3 q^2 (-54 k^4 p^6 - 216 k^3 q p^5 - 324 k^2 q^2 p^4 - 168 k^4 q p^4 - 216 k q^3 p^3 + 959 k^3 q^2 p^3 - 54 q^4 p^2 + 1293 k^2 q^3 p^2 + 1280 k^4 q^2 p^2 + 797 k q^4 p - 952 k^3 q^3 p + 183 q^5 - 274 k^2 q^4 + 1024 k^4 q^3) [color=blue]a^6[/color] + 32 k^4 q^3 (-24 k^3 p^5 - 72 k^2 q p^4 - 72 k q^2 p^3 + 32 k^3 q p^3 - 24 q^3 p^2 + 259 k^2 q^2 p^2 + 262 k q^3 p + 256 k^3 q^2 p + 83 q^4 - 96 k^2 q^3) [color=blue]a^4[/color] - 256 k^5 q^4 (k p + q) (-k p^3 - q p^2 + 4 k q p + 5 q^2) [color=blue]a^2[/color] + 256 k^6 q^7 = 0

式子比面积的更长更臭，不过同样是关于 `a^2` 的十次方程{:lol:}{:lol:}{:lol:}，`b`, `c` 同理。

isee 发表于 2018-7-27 07:59

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=27659&ptid=5505]20#[/url] [i]kuing[/i] [/b]


Mathematica 已经被你玩“魔”了

TSC999 发表于 2018-7-27 13:17

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=27659&ptid=5505]20#[/url] [i]kuing[/i] [/b]

上面这方程是正确的。
设 ta = 4759; tb = 6928; tc = 5188;
此方程的正解有七个： {{a->2458.18},{a->2955.78},{a->5061.11},{a->6961.83},{a->7629.14},{a->13992.8},{a->56345.2}}，其中只有 a=7629.14 是正确解。
     用此方程搞出公式表达的解析解，那是极不可能的，大概也没有用根式表达的解析解。

TSC999 发表于 2018-7-27 13:21

[i=s] 本帖最后由 TSC999 于 2018-7-27 13:24 编辑 [/i]

令 x=ta, y=tb, z=tc。
f = 256 a^20 (x - y)^2 y^2 (x + y)^2 (x - z)^2 z^2 (x + z)^2 (x y -
      x z - y z) (x y + x z - y z) (x y - x z + y z) (x y + x z +
      y z) + 256 a^18 (x^14 y^8 - 2 x^12 y^10 + x^10 y^12 -
      9 x^12 y^8 z^2 + 11 x^10 y^10 z^2 - 6 x^8 y^12 z^2 -
      2 x^14 y^4 z^4 + 3 x^12 y^6 z^4 + 40 x^10 y^8 z^4 -
      31 x^8 y^10 z^4 + 14 x^6 y^12 z^4 + 3 x^12 y^4 z^6 -
      x^10 y^6 z^6 - 66 x^8 y^8 z^6 + 44 x^6 y^10 z^6 -
      16 x^4 y^12 z^6 + x^14 z^8 - 9 x^12 y^2 z^8 + 40 x^10 y^4 z^8 -
      66 x^8 y^6 z^8 + 72 x^6 y^8 z^8 - 31 x^4 y^10 z^8 +
      9 x^2 y^12 z^8 - 2 x^12 z^10 + 11 x^10 y^2 z^10 -
      31 x^8 y^4 z^10 + 44 x^6 y^6 z^10 - 31 x^4 y^8 z^10 +
      11 x^2 y^10 z^10 - 2 y^12 z^10 + x^10 z^12 - 6 x^8 y^2 z^12 +
      14 x^6 y^4 z^12 - 16 x^4 y^6 z^12 + 9 x^2 y^8 z^12 -
      2 y^10 z^12) -
   32 a^16 (40 x^14 y^10 - 24 x^12 y^12 + 16 x^10 y^14 +
      40 x^14 y^8 z^2 - 299 x^12 y^10 z^2 + 137 x^10 y^12 z^2 -
      72 x^8 y^14 z^2 - 80 x^14 y^6 z^4 - 320 x^12 y^8 z^4 +
      795 x^10 y^10 z^4 - 351 x^8 y^12 z^4 + 128 x^6 y^14 z^4 -
      80 x^14 y^4 z^6 + 166 x^12 y^6 z^6 + 971 x^10 y^8 z^6 -
      1097 x^8 y^10 z^6 + 390 x^6 y^12 z^6 - 112 x^4 y^14 z^6 +
      40 x^14 y^2 z^8 - 320 x^12 y^4 z^8 + 971 x^10 y^6 z^8 -
      1155 x^8 y^8 z^8 + 762 x^6 y^10 z^8 - 178 x^4 y^12 z^8 +
      48 x^2 y^14 z^8 + 40 x^14 z^10 - 299 x^12 y^2 z^10 +
      795 x^10 y^4 z^10 - 1097 x^8 y^6 z^10 + 762 x^6 y^8 z^10 -
      274 x^4 y^10 z^10 + 49 x^2 y^12 z^10 - 8 y^14 z^10 -
      24 x^12 z^12 + 137 x^10 y^2 z^12 - 351 x^8 y^4 z^12 +
      390 x^6 y^6 z^12 - 178 x^4 y^8 z^12 + 49 x^2 y^10 z^12 -
      23 y^12 z^12 + 16 x^10 z^14 - 72 x^8 y^2 z^14 +
      128 x^6 y^4 z^14 - 112 x^4 y^6 z^14 + 48 x^2 y^8 z^14 -
      8 y^10 z^14) +
   16 a^14 (118 x^14 y^12 - 2 x^12 y^14 + 16 x^10 y^16 +
      428 x^14 y^10 z^2 - 807 x^12 y^12 z^2 + 172 x^10 y^14 z^2 -
      64 x^8 y^16 z^2 - 118 x^14 y^8 z^4 - 2001 x^12 y^10 z^4 +
      1542 x^10 y^12 z^4 - 398 x^8 y^14 z^4 + 96 x^6 y^16 z^4 -
      856 x^14 y^6 z^6 - 1022 x^12 y^8 z^6 + 3120 x^10 y^10 z^6 -
      1772 x^8 y^12 z^6 + 280 x^6 y^14 z^6 - 64 x^4 y^16 z^6 -
      118 x^14 y^4 z^8 - 1022 x^12 y^6 z^8 + 3533 x^10 y^8 z^8 -
      2347 x^8 y^10 z^8 + 817 x^6 y^12 z^8 - 62 x^4 y^14 z^8 +
      16 x^2 y^16 z^8 + 428 x^14 y^2 z^10 - 2001 x^12 y^4 z^10 +
      3120 x^10 y^6 z^10 - 2347 x^8 y^8 z^10 + 1040 x^6 y^10 z^10 -
      365 x^4 y^12 z^10 + 28 x^2 y^14 z^10 + 118 x^14 z^12 -
      807 x^12 y^2 z^12 + 1542 x^10 y^4 z^12 - 1772 x^8 y^6 z^12 +
      817 x^6 y^8 z^12 - 365 x^4 y^10 z^12 - 87 x^2 y^12 z^12 -
      18 y^14 z^12 - 2 x^12 z^14 + 172 x^10 y^2 z^14 -
      398 x^8 y^4 z^14 + 280 x^6 y^6 z^14 - 62 x^4 y^8 z^14 +
      28 x^2 y^10 z^14 - 18 y^12 z^14 + 16 x^10 z^16 -
      64 x^8 y^2 z^16 + 96 x^6 y^4 z^16 - 64 x^4 y^6 z^16 +
      16 x^2 y^8 z^16) -
   a^12 (720 x^14 y^14 + 288 x^12 y^16 + 10608 x^14 y^12 z^2 -
      3217 x^12 y^14 z^2 + 288 x^10 y^16 z^2 + 11216 x^14 y^10 z^4 -
      35778 x^12 y^12 z^4 + 8666 x^10 y^14 z^4 - 576 x^8 y^16 z^4 -
      22544 x^14 y^8 z^6 - 43775 x^12 y^10 z^6 +
      18872 x^10 y^12 z^6 - 5967 x^8 y^14 z^6 - 576 x^6 y^16 z^6 -
      22544 x^14 y^6 z^8 - 37340 x^12 y^8 z^8 + 34894 x^10 y^10 z^8 -
      20854 x^8 y^12 z^8 + 2140 x^6 y^14 z^8 + 288 x^4 y^16 z^8 +
      11216 x^14 y^4 z^10 - 43775 x^12 y^6 z^10 +
      34894 x^10 y^8 z^10 - 19615 x^8 y^10 z^10 -
      3050 x^6 y^12 z^10 - 143 x^4 y^14 z^10 + 288 x^2 y^16 z^10 +
      10608 x^14 y^2 z^12 - 35778 x^12 y^4 z^12 +
      18872 x^10 y^6 z^12 - 20854 x^8 y^8 z^12 - 3050 x^6 y^10 z^12 -
      6480 x^4 y^12 z^12 - 966 x^2 y^14 z^12 + 720 x^14 z^14 -
      3217 x^12 y^2 z^14 + 8666 x^10 y^4 z^14 - 5967 x^8 y^6 z^14 +
      2140 x^6 y^8 z^14 - 143 x^4 y^10 z^14 - 966 x^2 y^12 z^14 -
      81 y^14 z^14 + 288 x^12 z^16 + 288 x^10 y^2 z^16 -
      576 x^8 y^4 z^16 - 576 x^6 y^6 z^16 + 288 x^4 y^8 z^16 +
      288 x^2 y^10 z^16) +
   a^10 x^2 (81 x^12 y^16 + 3972 x^12 y^14 z^2 + 1254 x^10 y^16 z^2 +
      22468 x^12 y^12 z^4 - 8012 x^10 y^14 z^4 + 1215 x^8 y^16 z^4 -
      3972 x^12 y^10 z^6 - 34520 x^10 y^12 z^6 + 1672 x^8 y^14 z^6 +
      84 x^6 y^16 z^6 - 45098 x^12 y^8 z^8 - 35778 x^10 y^10 z^8 -
      11013 x^8 y^12 z^8 - 2152 x^6 y^14 z^8 + 1215 x^4 y^16 z^8 -
      3972 x^12 y^6 z^10 - 35778 x^10 y^8 z^10 - 4764 x^8 y^10 z^10 -
      10400 x^6 y^12 z^10 - 860 x^4 y^14 z^10 + 1254 x^2 y^16 z^10 +
      22468 x^12 y^4 z^12 - 34520 x^10 y^6 z^12 -
      11013 x^8 y^8 z^12 - 10400 x^6 y^10 z^12 -
      12772 x^4 y^12 z^12 - 1868 x^2 y^14 z^12 + 81 y^16 z^12 +
      3972 x^12 y^2 z^14 - 8012 x^10 y^4 z^14 + 1672 x^8 y^6 z^14 -
      2152 x^6 y^8 z^14 - 860 x^4 y^10 z^14 - 1868 x^2 y^12 z^14 -
      432 y^14 z^14 + 81 x^12 z^16 + 1254 x^10 y^2 z^16 +
      1215 x^8 y^4 z^16 + 84 x^6 y^6 z^16 + 1215 x^4 y^8 z^16 +
      1254 x^2 y^10 z^16 + 81 y^12 z^16) -
   a^8 x^4 y^2 z^2 (432 x^10 y^14 + 8336 x^10 y^12 z^2 +
      2672 x^8 y^14 z^2 + 19760 x^10 y^10 z^4 - 4049 x^8 y^12 z^4 +
      3808 x^6 y^14 z^4 - 28528 x^10 y^8 z^6 - 11252 x^8 y^10 z^6 -
      3748 x^6 y^12 z^6 + 3808 x^4 y^14 z^6 - 28528 x^10 y^6 z^8 -
      4966 x^8 y^8 z^8 - 17532 x^6 y^10 z^8 + 442 x^4 y^12 z^8 +
      2672 x^2 y^14 z^8 + 19760 x^10 y^4 z^10 - 11252 x^8 y^6 z^10 -
      17532 x^6 y^8 z^10 - 9980 x^4 y^10 z^10 - 2740 x^2 y^12 z^10 +
      432 y^14 z^10 + 8336 x^10 y^2 z^12 - 4049 x^8 y^4 z^12 -
      3748 x^6 y^6 z^12 + 442 x^4 y^8 z^12 - 2740 x^2 y^10 z^12 -
      945 y^12 z^12 + 432 x^10 z^14 + 2672 x^8 y^2 z^14 +
      3808 x^6 y^4 z^14 + 3808 x^4 y^6 z^14 + 2672 x^2 y^8 z^14 +
      432 y^10 z^14) +
   16 a^6 x^6 y^4 z^4 (54 x^8 y^12 + 492 x^8 y^10 z^2 +
      216 x^6 y^12 z^2 + 202 x^8 y^8 z^4 + 121 x^6 y^10 z^4 +
      324 x^4 y^12 z^4 - 1496 x^8 y^6 z^6 + 235 x^6 y^8 z^6 +
      3 x^4 y^10 z^6 + 216 x^2 y^12 z^6 + 202 x^8 y^4 z^8 +
      235 x^6 y^6 z^8 - 368 x^4 y^8 z^8 - 149 x^2 y^10 z^8 +
      54 y^12 z^8 + 492 x^8 y^2 z^10 + 121 x^6 y^4 z^10 +
      3 x^4 y^6 z^10 - 149 x^2 y^8 z^10 - 75 y^10 z^10 +
      54 x^8 z^12 + 216 x^6 y^2 z^12 + 324 x^4 y^4 z^12 +
      216 x^2 y^6 z^12 + 54 y^8 z^12) -
   32 a^4 x^8 y^6 z^6 (24 x^6 y^10 + 88 x^6 y^8 z^2 +
      72 x^4 y^10 z^2 - 112 x^6 y^6 z^4 + 29 x^4 y^8 z^4 +
      72 x^2 y^10 z^4 - 112 x^6 y^4 z^6 + 10 x^4 y^6 z^6 -
      46 x^2 y^8 z^6 + 24 y^10 z^6 + 88 x^6 y^2 z^8 +
      29 x^4 y^4 z^8 - 46 x^2 y^6 z^8 - 35 y^8 z^8 + 24 x^6 z^10 +
      72 x^4 y^2 z^10 + 72 x^2 y^4 z^10 + 24 y^6 z^10) +
   256 a^2 x^10 y^8 z^8 (x^2 y^2 + x^2 z^2 + y^2 z^2) (x^2 y^6 -
      x^2 y^4 z^2 + y^6 z^2 - x^2 y^2 z^4 - 3 y^4 z^4 + x^2 z^6 +
      y^2 z^6) + 256 x^12 y^14 z^14;

那么 f=0 有一个正根等于边长 a 的值。
这个方程与 Kuing 的方程等价，由于没使用一些代换技巧，所以代码更长了。
这方程是另一个数学网站某网友提供的。

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