一个极小值问题
已知函数$f(x)=2(e^x-x-1)-(ax^2+x)ln(x+1)$在$x=0$处取得极小值,求实数$a$的值。 和上次这道 [url]http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=5430[/url] 有点像,不过这次好像除不了,但不断求导总可以 通过死算可知 `f(0)=f'(0)=f''(0)=0` 恒成立且 `f'''(0)=5-6a`, `f''''(0)=12a-6`。如果 `f'''(0)\ne0`,则:
`f''(x)` 在 `x=0` 处非极值,
`f'(x)` 在 `x=0` 处是极值,
`f(x)` 在 `x=0` 处非极值,
矛盾,所以必须 `f'''(0)=0`,即 `a=5/6`。
最后当然还需要检验一下,代入 `a=5/6`,有 `f''''(0)>0`,类似于上面的分析可知的确为极小值。 记 `n` 阶导数为 `f^{(n)}(x)`,一般地:
若 `f(x_0)=f'(x_0)=f''(x_0)=\cdots=f^{(n)}(x_0)=0` 且 `f^{(n+1)}(x_0)` 为正(负),则:
`f^{(n)}(x)`, `f^{(n-2)}(x)`, `f^{(n-4)}(x)`, ……在 `x=x_0` 处非极值;
`f^{(n-1)}(x)`, `f^{(n-3)}(x)`, `f^{(n-5)}(x)`, ……在 `x=x_0` 处是极小(大)值。 [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=27605&ptid=5504]4#[/url] [i]kuing[/i] [/b]
这个东东,蛮好用的。
请问:有出处吗?严格的证明如3#吗? [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=27607&ptid=5504]5#[/url] [i]lemondian[/i] [/b]
哪有什么出处不出处的,就是临场随手总结的小结论罢了 [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=27608&ptid=5504]6#[/url] [i]kuing[/i] [/b]
Kuing出品,必属精品!若有证明过程就好了。 [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=27612&ptid=5504]7#[/url] [i]lemondian[/i] [/b]
这点小东西,证明自己写 [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=27613&ptid=5504]8#[/url] [i]kuing[/i] [/b]
果真有出处,怪不得眼熟!{:titter:}
原来是极值判定的方法:高数里面有的!今天复习了一下! [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=27614&ptid=5504]9#[/url] [i]lemondian[/i] [/b]好像是有这么一个东西,严格证明分享一下? [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=27614&ptid=5504]9#[/url] [i]lemondian[/i] [/b]
请拍照上传吧。 [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=27620&ptid=5504]11#[/url] [i]力工[/i] [/b]
书是图书馆看的的,当时就看了一眼,要用到高等数学的泰勒公式,没记住哩。你们网上找找吧。
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