2018年高考全国卷2文科第21题
[i=s] 本帖最后由 zhcosin 于 2018-6-8 22:57 编辑 [/i][b] 题目[/b] (2018-06-08,2018高考全国卷2文科第21题)
已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^3 - a (x^2 + x + 1)$.
(1) 若 $a = 3$，求 $f (x)$ 的单调区间.
(2) 证明: $f (x)$ 只有一个零点.
[b]解答 [/b] (1) 若 $a = 3$，则 $f (x) = \frac{1}{3} x^3 - 3 (x^2 + x +
1)$，导函数 $f' (x) = x^2 - 6 x - 3 = \left( x - \left( 3 - 2 \sqrt{3}
\right) \right) \left( x - \left( 3 + 2 \sqrt{3} \right) \right)$，
根据导函数的符号可知，函数在 $\left( - \infty, 3 - 2 \sqrt{3}
\right)$ 上单调增加，在 $\left( 3 - 2 \sqrt{3}, 3 + 2 \sqrt{3}
\right)$ 上单调减少，在 $\left( 3 + 2 \sqrt{3}, + \infty \right)$
上单调增加.
(2) 导函数 $f' (x) = x^2 - 2 a x - a$，讨论其根的情况:
(2.a) 如果导函数至多只有一根，即 $4 (a^2 + a) \leqslant 0$，也即 $- 1 \leqslant a \leqslant 0$ 时，导函数的符号恒为非负，且至多只在一个点处取零值，所以函数 $f (x)$ 在 $\mathbb{R}$上单调增加.实际上，这时它就正好有一个零点，说明如下:
因为
\[ f (x) = x^3 \left( \frac{1}{3} - \frac{a}{x} - \frac{a}{x^2} -
\frac{a}{x^3} \right) \]
令 $\left| \frac{a}{x} \right| < \frac{1}{18}$, $\left| \frac{a}{x^2} \right| < \frac{1}{18}$, $\left| \frac{a}{x^3} \right| < \frac{1}{18}$，此时便有 $\left| \frac{a}{x} + \frac{a}{x^2} + \frac{a}{x^3} \right| < 3 \times \frac{1}{18} = \frac{1}{6}$，因此括号中的表达式将恒为正号，于是函数值的符号便由 $x^3$ 来确定，于是令 $h (a) = \max \left( 18 | a |, \sqrt{18 | a |}, \sqrt[3]{18 | a |} \right)$，则有 $f (h (a)) > 0$，而 $f (- h (a)) < 0$, 于是函数 $f (x)$ 在区间 $(- h (a), h (a))$ 上正好有一个零点，且是它在 $\mathbb{R}$ 上的唯一零点.
(2.b) 如果导函数有两根，即 $4 (a^2 + a) > 0$，即 $a < - 1$ 或者 $a > 0$，这时导函数的两根是 $x_1 = a - \sqrt{a^2 + a}$, $x_2 = a + \sqrt{a^2 + a}$，函数 $f (x)$ 在区间 $(- \infty, x_1)$ 上单调增加，在 $(x_1, x_2)$ 上单调减少，在 $(x_2, + \infty)$ 上单调增加.在 $x = x_1$ 处取极大值，在 $x = x_2$ 处取极小值并且 $f (x_1) > f(x_2)$.显然，函数只有一个零点的充分必要条件是 $f (x_1) < 0$ 或者 $f (x_2) > 0$(用反证法可以说明),是否如此呢，利用$x_1, x_2$ 都满足方程 $f' (x) = 0$，即 $x_i^2 = 2 a x_i + a (i = 1, 2)$，有
\begin{eqnarray*}
f (x_1) & = & \frac{1}{3} x_1^3 - a (x_1^2 + x_1 + 1)\\
& = & \frac{1}{3} x_1 \cdot (2 a x_1 + a) - a (x_1^2 + x_1 + 1)\\
& = & - \frac{1}{3} a x_1^2 - \frac{2}{3} a x_1 - a\\
& = & - \frac{1}{3} a (2 a x_1 + a) - \frac{2}{3} a x_1 - a\\
& = & - \frac{2}{3} a (a + 1) x_1 - \frac{1}{3} a^2 - a\\
& = & - a \left( \frac{2}{3} (a + 1) x_1 + \frac{1}{3} a + 1 \right)\\
& = & - a \left( \frac{2}{3} (a + 1) \left( a - \sqrt{a^2 + a} \right) +
\frac{1}{3} a + 1 \right)
\end{eqnarray*}
同理有
\begin{eqnarray*}
f (x_2) & = & - a \left( \frac{2}{3} (a + 1) x_2 + \frac{1}{3} a + 1
\right)\\
& = & - a \left( \frac{2}{3} (a + 1) \left( a + \sqrt{a^2 + a} \right) +
\frac{1}{3} a + 1 \right)
\end{eqnarray*}
接下来验证，当 $a < - 1$ 时有 $f (x_2) > 0$，当 $a > 0$ 时有 $f(x_1) < 0$.
当 $a < - 1$ 时, 容易验证有不等式 $\sqrt{1 + r} \leqslant 1 + \frac{r}{2}$，且等号仅在 $r = 0$ 时取得，所以有
\begin{eqnarray*}
\frac{2}{3} (a + 1) \left( a + \sqrt{a^2 + a} \right) + \frac{1}{3} a + 1
& = & - \frac{2}{3} a (a + 1) \left( - 1 + \sqrt{1 + \frac{1}{a}} \right)
+ \frac{1}{3} a + 1\\
& > & - \frac{2}{3} a (a + 1) \left( - 1 + 1 + \frac{1}{2 a} \right) +
\frac{1}{3} a + 1\\
& = & \frac{2}{3} > 0
\end{eqnarray*}
从而 $f (x_2) > 0$.
当 $a > 0$ 时， 有
\begin{eqnarray*}
\frac{2}{3} (a + 1) \left( a - \sqrt{a^2 + a} \right) + \frac{1}{3} a + 1
& = & \frac{2}{3} (a + 1) \frac{- a}{a + \sqrt{a^2 + a}} + \frac{1}{3} a +
1\\
& > & \frac{2}{3} (a + 1) \cdot \frac{- a}{2 a} + \frac{1}{3} a + 1\\
& = & \frac{2}{3} > 0
\end{eqnarray*}
从而 $f (x_1) < 0$.
综上，结论得证. 还是那句话，打死不分参，打死不分参，打死不分参。。。 不是说好了导出代码的咩[img]http://kuing.orzweb.net/attachments/month_1309/1309021709311305c9c5b3c4e0.gif[/img]
如果是嫌细节修改麻烦，我可以帮你弄 [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=26990&ptid=5418]3#[/url] [i]kuing[/i] [/b]
生成那代码那质量之丑，多行公式是 eqnarray
等会我弄代码 [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=26993&ptid=5418]4#[/url] [i]zhcosin[/i] [/b]
发来看看，我试试能否批量修改 分成1/a=……然后部分分式化成二次函数也行，虽然楼主不分参，楼主偏向虎山行 看到代码了。
咦？MathJax 显示的 eqnarray 居然是不难看的，那看来也不用怎么改了 [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=27005&ptid=5418]7#[/url] [i]kuing[/i] [/b]
就是这个换行。。。。 [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=26988&ptid=5418]1#[/url] [i]zhcosin[/i] [/b]
这多清爽，，，为楼主点赞 [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=27005&ptid=5418]7#[/url] [i]kuing[/i] [/b]
eqnarray 这样一看，还强些啊，虽然我没用过 TeXmacs 大法好。。。 [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=27010&ptid=5418]11#[/url] [i]zhcosin[/i] [/b]
得，我就不提TeXLive法力大 说实话，一个文科的题目做成这样复杂，是有点那啥的。。。 [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=27012&ptid=5418]13#[/url] [i]zhcosin[/i] [/b]
自娱自乐，你高兴就好，这也具一般性，只是数据不好看而已。
3次函数只有一个零点问题，kuing 在论坛也讨论过一般情况，式子复杂。。。 [quote]说实话，一个文科的题目做成这样复杂，是有点那啥的。。。
[size=2][color=#999999]zhcosin 发表于 2018-6-8 22:54[/color] [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=27012&ptid=5418][img]http://kuing.orzweb.net/images/common/back.gif[/img][/url][/size][/quote]
一般化，反正要算，[url=http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=4235&extra=&page=2]直接一般化，by kuing 24楼[/url]
PS：高考之前人说3次函数基本绝迹了，这会考，之后又会兴盛了 [quote]回复 kuing
就是这个换行。。。。
[size=2][color=#999999]zhcosin 发表于 2018-6-8 22:46[/color] [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=27006&ptid=5418][img]http://kuing.orzweb.net/images/common/back.gif[/img][/url][/size][/quote]
换行问题确实有点麻烦，我用winedt也要用三步替换才能处理好。
在 winedt 中，按 Ctrl+R ，勾上正则表达式后：
一、 >> 替换为 >>>
二、 $\verb"\({\\\[@ }|{\\\]@ }|{\\begin*\}@ }|{\\end*\}@ }|{\\\\@ }\)"$ 替换为 >\0>
三、 >~{>} 替换为空
替换后的文本：[attach]6315[/attach] [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=27018&ptid=5418]16#[/url] [i]kuing[/i] [/b]
正则表达式都出来了，niubility [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=27018&ptid=5418]16#[/url] [i]kuing[/i] [/b]
一直没明白正则到底是什么规律 [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=27045&ptid=5418]18#[/url] [i]isee[/i] [/b]
这有啥不明白的，就是模式匹配，我能说我在 emacs 里，敲一条替换命令，就能把全文的日期时间更改一下格式么？ [quote]还是那句话，打死不分参，打死不分参，打死不分参。。。
[size=2][color=#999999]zhcosin 发表于 2018-6-8 20:58[/color] [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=26989&ptid=5418][img]http://kuing.orzweb.net/images/common/back.gif[/img][/url][/size][/quote]
分离参数明明很简单， [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=27048&ptid=5418]20#[/url] [i]realnumber[/i] [/b]
我当时预见到分参后求导会比较麻烦，就直接放弃了。 还是写下
考虑$\frac{1}{3}x^3=a(x^2+x+1)$的零点个数
若a=0,则有唯一零点x=0
若a≠0，则x=0不是零点，按6楼办法分离参数,并令$\frac{1}{x}=t$
$\frac{1}{3a}=t^3+t^2+t=g(t),g'(t)=3t^2+2t+1>0$,y=g(t)单调递增即对任意给定的a,都有唯一的t与它对应，而每一t也是有唯一的x与它对应. [i=s] 本帖最后由 敬畏数学 于 2018-6-10 13:05 编辑 [/i]
[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=27060&ptid=5418]22#[/url] [i]realnumber[/i] [/b]
此解法简洁明了。直截了当。不过说回来，这些都是套路题，难道只能玩这些了吗？难怪很多人都哈哈哈哈。哎。。。。
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