这网红卷的解析几何是极点极线了,如何说通顺[已顺]
[i=s] 本帖最后由 isee 于 2018-6-7 15:24 编辑 [/i]题目来源:网红的荆州中学试题第20(2)——
题干:过点$A(0,-2)$的直线与曲线$\tau:x^2=8y$交于不同的两点$M$、$N$,过点$M$的直线与曲线$\tau$交于另一点$Q$,且直线$MQ$过点$B(2,2)$,求证:直线$NQ$过定点.
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这非常明显是极点极线问题,不过,了解一点皮毛,不知道如何说通顺了。
尝试性的说明——[color=Blue](仅供参考)[/color]
首先,容易知道极点A的极线HI是过点B的,(这个很重要,由此就可能确定,此题的背景就是极点与极线问题了。)
其次,由于点B在点A的极线HI上,所以,点B的极线亦过点A。
以AB为极线的极点(就是图是的J),是点A的极线HI与点B的极线的交点,不防设此点为J。
即三角形ABJ为自极三角形。
由于,J,B,I,H四点调和,可求得$J(8,2)$,这就是题中要证的NQ过的定点。
以下 证明 “J,N,Q三点共线” 由 kuing 完成,有改动。
设直线MN交HI与D点,由点A的极线是HI,知A,D,N,M四点调和,于是[color=Red]JA[/color],[color=Red]JD[/color],JN,[color=Red]JM[/color]为调和线束。
同样的,设直线MQ交AJ于E点(或无穷远点E),由点B的极线是JA,知E,B,Q,M四点调和,于是[color=Red]JE[/color],[color=Red]JB[/color],JQ,[color=Red]JM[/color]为调和线束。
这表明这两组调和线束[color=Red]实为同一组调和线束[/color],换句话说:J,N,Q三点共线,证毕。 [i=s] 本帖最后由 isee 于 2018-6-6 20:59 编辑 [/i]
现在的问题是,如何用极点极线的知识,说明J,N,Q这三点是共线的呢?
一时没头绪了,看来又要翻翻高等几何查相关内容了,可怜的是手上书不知丢哪儿了。 [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=26855&ptid=5396]2#[/url] [i]isee[/i] [/b]
[attach]6271[/attach]
ABC 自极
由 A 的极线是 BC 得 M、N、D、A 调和
由 B 的极线是 AC 得 M、Q、B、E 调和
所以 NQ、DB、AE 三线共点
酱紫阔以吗? 突然觉得我以前也作过这样的图,翻了下果然找到了:
[url]https://bbs.pep.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=938790[/url] [quote]回复 isee
ABC 自极
由 A 的极线是 BC 得 M、N、D、A 调和
由 B 的极线是 AC 得 M、Q、B、E 调和
...
[size=2][color=#999999]kuing 发表于 2018-6-6 22:33[/color] [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=26865&ptid=5396][img]http://kuing.orzweb.net/images/common/back.gif[/img][/url][/size][/quote]
在我理解的范围内应该是最简单而有效的了,漂亮,thx。 话说,人教论坛又不让发帖鸟…… [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=26868&ptid=5396]6#[/url] [i]kuing[/i] [/b]
极点在形内,极线在形外时,图形中还不怎么适应。。。还是你火眼金睛。
人论不让发帖(让发也没发的),正说明高考正当时 [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=26866&ptid=5396]4#[/url] [i]kuing[/i] [/b]
果然《kuing网络撸题集》(2015冬至版) ,第526页有收录。 不过,话说回来,用来极点极来证圆锥曲线(含退化的圆)下的三点共线,或三线共点有时真是方便极了。
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