悠闲数学娱乐论坛(第2版) » 初等数学讨论 » 椭圆中斜率比值问题

lemondian 发表于 2018-5-31 19:38

椭圆中斜率比值问题

设椭圆C：$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左，右顶点为A，B，过右焦点F（c,0）作非水平直线L与椭圆C交于P,Q两点，记直线AP，BQ的斜率为$k1,k2$,求$\dfrac{k1}{k2}$的值。

kuing 发表于 2018-5-31 19:43

这类结论早就被玩烂了吧……自己做吧……

lemondian 发表于 2018-5-31 21:14

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又玩烂了？{:cry:}那有类似的题目学习下吧。。。

lemondian 发表于 2018-6-1 09:10

终于算出来了！
设$l:x=ty+c,椭圆\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{a^2-c^2}=1,联立消去x，由韦达定理，再由k_1=\dfrac{y_1}{x_1+a}=\dfrac{y_1}{ty_1+c+a}$,
$k_2=\dfrac{y_2}{x_2-a}=\dfrac{y_2}{ty_2+c-a}$,代入化简可得：
$\dfrac{k_1}{k_2}=\dfrac{a-c}{a+c}$.
不过这个做法，运算相当麻烦，不知有没有更简单的做法？

kuing 发表于 2018-6-1 13:13

简单方法当然是玩“伸缩变换”了。

注意到，当对整个图形沿 `y` 轴拉伸至原来的 `t` 倍时，所有直线的斜率亦都将变为原来的 `t` 倍，`k_1/k_2` 不变，由此可见，只需考虑将椭圆拉伸成圆的情形即可。

如图，连 `PB`，作 `EH\perp PA` 于 `H`：
[attach]6269[/attach]
有
\[\frac{k_{AP}}{k_{BQ}}=\frac{\tan\angle EAP}{\tan\angle EBQ}=\frac{\tan\angle EAP}{\tan\angle EPA}=\frac{HP}{HA}=\frac{EB}{EA},\]
回到原题，`E` 为焦点 `F`，所以 `k_1/k_2=(a-c)/(a+c)`。

lemondian 发表于 2018-6-1 15:12

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果然NB！
好象双曲线也有此结论，那么能否用“伸缩变换”处理，如何处理呢？

kuing 发表于 2018-6-1 15:52

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不知道

isee 发表于 2018-6-1 19:05

对椭圆（从解析几何角度，双曲线亦如此）如何继续研究的话，会发现
（1）直线PA与直线BQ的交点在定直线（准线）上。
（2）记此交点为T，则直线TA，TB，TF三条直线的斜率为等差数列。

力工 发表于 2018-6-1 19:25

与交比应该有一腿，是啥子关系？

kuing 发表于 2018-6-1 20:29

在论坛上搜索一下应该会有相关帖子

lemondian 发表于 2018-6-1 22:21

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    第二个中，斜率顺序是不是弄错了？

isee 发表于 2018-6-1 23:14

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sorry，TF是中项。

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