看看这个不等式
[attach]6135[/attach]如何证明?
能推广不? 用漂移套路即可。
推广命题:给定 `t>0`,互不相等的正数 `a`, `b` 满足 `a^t-b^t=a^{t+1}-b^{t+1}`,则有
\[ab<\left( \frac t{t+1} \right)^2.\]
证明:设
\[f(x)=x^{t+1}-x^t,\quad x>0,\]
则条件为 `f(a)=f(b)`,求导有
\[f'(x)=(t+1)x^t-tx^{t-1},\]
可知其有唯的极值点
\[x_0=\frac t{t+1},\]
且其在 `(0,x_0)` 上递减,在 `(x_0,+\infty)` 上递增,不妨设 `a<b`,则
\[a<x_0<b.\]
设
\[F(x)=f(x_0x)-f\left( \frac{x_0}x \right),\quad x>0,\]
代入整理得
\[F(x)=x_0^{t+1}\left( x^{t+1}-\frac1{x^{t+1}} \right)-x_0^t\left( x^t-\frac1{x^t} \right),\]
求导有
\[F'(x)=x_0^{t+1}(t+1)\left( x^t+\frac1{x^{t+2}} \right)-x_0^tt\left( x^{t-1}+\frac1{x^{t+1}} \right),\]
注意到 `x_0^{t+1}(t+1)=x_0^tt`,所以
\[F'(x)=x_0^tt\left( x^t+\frac1{x^{t+2}}-x^{t-1}-\frac1{x^{t+1}} \right)=\frac{x_0^tt}x\left( x^{t+1}+\frac1{x^{t+1}}-x^t-\frac1{x^t} \right),\]
显然恒有
\[x^{t+1}+\frac1{x^{t+1}}\geqslant x^t+\frac1{x^t},\]
当且仅当 `x=1` 时取等,所以 `F(x)` 严格递增,而 `F(1)=0`,所以当 `x>1` 时 `F(x)>0`,故 `F(x_0/a)>0`,即
\[f\left( \frac{x_0^2}a \right)>f(a)=f(b),\]
而 `x_0^2/a` 和 `b` 均在 `f(x)` 的递增区间 `(x_0,+\infty)` 上,所以
\[\frac{x_0^2}a>b,\]
即
\[ab<x_0^2=\left( \frac t{t+1} \right)^2.\] 在上述推广命题中,作置换 `(t,a,b)\to (t/u,a^u,b^u)` 即得:
推论:给定 `t`, `u>0`,互不相等的正数 `a`, `b` 满足 `a^t-b^t=a^{t+u}-b^{t+u}`,则有
\[ab<\left( \frac t{t+u} \right)^{2/u}.\] [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=26377&ptid=5326]3#[/url] [i]kuing[/i] [/b]
又被秒了!
K神:有没有较常见的证法?例如证一下第二个不等式? [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=26376&ptid=5326]2#[/url] [i]kuing[/i] [/b]
这一推\[F(x)=f(x_0x)-f\left( \frac{x_0}x \right),\quad x>0,\]还有点意思呢 [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=26379&ptid=5326]5#[/url] [i]isee[/i] [/b]
就是漂移的常规套路呀 [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=26381&ptid=5326]6#[/url] [i]kuing[/i] [/b]
我说的不够清楚:不用构造函数方式,用基本不等式什么的{:shy:} [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=26384&ptid=5326]7#[/url] [i]lemondian[/i] [/b]
我6#不是回复你 [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=26384&ptid=5326]7#[/url] [i]lemondian[/i] [/b]
p=a+b, q=ab,条件用 p, q 表示,解出 q,利用 0<q<p^2/4 解出 p 的范围,进而得出 q 的范围。 [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=26381&ptid=5326]6#[/url] [i]kuing[/i] [/b]
唉,思维定势害人啊,因为我接触到的(或者说高考范围内)
全是[color=Red]和[/color]的形式,而有积的形式时,很多时候取对数也变成和的形式了,而来,这个漂移还可以是[color=Red]积[/color]形式。
(差与商是就真不能这样漂了吧?) 那么这个呢?
[attach]6136[/attach]
又能推广不? [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=26393&ptid=5326]11#[/url] [i]lemondian[/i] [/b]
既然都玩开了漂移,还是继续用漂移套路来玩吧……
设
\begin{align*}
f(x)&=x^4-x^3,\\
g(x)&=\frac37x^2(x^2-1),
\end{align*}
其中 `x\in(0,1)`,易知 `f(x)` 在 `(0,3/4)` 上递减,在 `(3/4,1)` 上递增,两者作差分解有
\[f(x)-g(x)=\frac17x^2(1-x)(3-4x),\]
可见在 `(0,3/4)` 上 `f(x)>g(x)`,在 `(3/4,1)` 上 `f(x)<g(x)`。
由条件知 `f(a)=f(b)`,设其值为 `m`,则 `g(x)=m` 也有两根 `c`, `d`, `c<d`,且必有 `c<a`, `d<b`,而由韦达定理知 `c^2+d^2=1`,所以 `a^2+b^2>1`。
附图形:
[attach]6137[/attach] [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=26398&ptid=5326]12#[/url] [i]kuing[/i] [/b]
神人,还没看懂!
给一个一般的证明吧:
[attach]6138[/attach] [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=26399&ptid=5326]13#[/url] [i]lemondian[/i] [/b]
这种证明虽然巧妙,但不具一般性,不易做推广。
比如说,仿12#的方法还可以证明 `a^3+b^3<1`,你用“一般的证明”试试。 [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=26401&ptid=5326]14#[/url] [i]kuing[/i] [/b]
说得对头! [i=s] 本帖最后由 lemondian 于 2018-5-2 08:47 编辑 [/i]
今天又看了#12,再一次体会这其中的N呀!K神是如何想到g(X) 这个函数的呢?
另:别人给出了这个:不知是否正确?
[attach]6152[/attach]
如果正确,是否可作一个推广呢? [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=26445&ptid=5326]16#[/url] [i]lemondian[/i] [/b]
一样操作:设
\begin{align*}
f(x)&=x^5-x^4,\\
g(x)&=\frac{20}{61}x^3(x^3-1),
\end{align*}
其中 `x\in(0,1)`,易知 `f(x)` 在 `(0,4/5)` 上递减,在 `(4/5,1)` 上递增,两者作差分解有
\[f(x)-g(x)=\frac1{61}x^3(1-x)(4x-5)(5x-4),\]
可见在 `(0,4/5)` 上 `f(x)>g(x)`,在 `(4/5,1)` 上 `f(x)<g(x)`。
由条件知 `f(a)=f(b)`,设其值为 `m`,则 `g(x)=m` 也有两根 `c`, `d`, `c<d`,且必有 `c<a`, `d<b`,而由韦达定理知 `c^3+d^3=1`,所以 `a^3+b^3>1`。
图形就不附了,因为贴得比较近,看不清。 [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=26446&ptid=5326]17#[/url] [i]kuing[/i] [/b]
再次被秒!{:lol:}
K神:如何构造出g(x)的?
这题能否推广? [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=26448&ptid=5326]18#[/url] [i]lemondian[/i] [/b]
构造方法很明显,自己想想。
推广可能不容易,懒得想了。 求助这个不等式的证明:
设a,b是互不相等的正数,且满足$a^{n+2}-b^{n+2}=a^{n+1}-b^{n+1}$.求证:$a^n+b^n\geqslant 1$
也就是11#--17#的推广啦
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