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lemondian 发表于 2018-4-28 15:46

看看这个不等式

[attach]6135[/attach]
如何证明?
能推广不?

kuing 发表于 2018-4-28 18:08

用漂移套路即可。

推广命题:给定 `t>0`,互不相等的正数 `a`, `b` 满足 `a^t-b^t=a^{t+1}-b^{t+1}`,则有
\[ab<\left( \frac t{t+1} \right)^2.\]

证明:设
\[f(x)=x^{t+1}-x^t,\quad x>0,\]
则条件为 `f(a)=f(b)`,求导有
\[f'(x)=(t+1)x^t-tx^{t-1},\]
可知其有唯的极值点
\[x_0=\frac t{t+1},\]
且其在 `(0,x_0)` 上递减,在 `(x_0,+\infty)` 上递增,不妨设 `a<b`,则
\[a<x_0<b.\]


\[F(x)=f(x_0x)-f\left( \frac{x_0}x \right),\quad x>0,\]
代入整理得
\[F(x)=x_0^{t+1}\left( x^{t+1}-\frac1{x^{t+1}} \right)-x_0^t\left( x^t-\frac1{x^t} \right),\]
求导有
\[F'(x)=x_0^{t+1}(t+1)\left( x^t+\frac1{x^{t+2}} \right)-x_0^tt\left( x^{t-1}+\frac1{x^{t+1}} \right),\]
注意到 `x_0^{t+1}(t+1)=x_0^tt`,所以
\[F'(x)=x_0^tt\left( x^t+\frac1{x^{t+2}}-x^{t-1}-\frac1{x^{t+1}} \right)=\frac{x_0^tt}x\left( x^{t+1}+\frac1{x^{t+1}}-x^t-\frac1{x^t} \right),\]
显然恒有
\[x^{t+1}+\frac1{x^{t+1}}\geqslant x^t+\frac1{x^t},\]
当且仅当 `x=1` 时取等,所以 `F(x)` 严格递增,而 `F(1)=0`,所以当 `x>1` 时 `F(x)>0`,故 `F(x_0/a)>0`,即
\[f\left( \frac{x_0^2}a \right)>f(a)=f(b),\]
而 `x_0^2/a` 和 `b` 均在 `f(x)` 的递增区间 `(x_0,+\infty)` 上,所以
\[\frac{x_0^2}a>b,\]

\[ab<x_0^2=\left( \frac t{t+1} \right)^2.\]

kuing 发表于 2018-4-28 18:28

在上述推广命题中,作置换 `(t,a,b)\to (t/u,a^u,b^u)` 即得:

推论:给定 `t`, `u>0`,互不相等的正数 `a`, `b` 满足 `a^t-b^t=a^{t+u}-b^{t+u}`,则有
\[ab<\left( \frac t{t+u} \right)^{2/u}.\]

lemondian 发表于 2018-4-28 19:41

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=26377&ptid=5326]3#[/url] [i]kuing[/i] [/b]
又被秒了!
K神:有没有较常见的证法?例如证一下第二个不等式?

isee 发表于 2018-4-28 20:07

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=26376&ptid=5326]2#[/url] [i]kuing[/i] [/b]

这一推\[F(x)=f(x_0x)-f\left( \frac{x_0}x \right),\quad x>0,\]还有点意思呢

kuing 发表于 2018-4-28 21:04

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=26379&ptid=5326]5#[/url] [i]isee[/i] [/b]

就是漂移的常规套路呀

lemondian 发表于 2018-4-28 21:20

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=26381&ptid=5326]6#[/url] [i]kuing[/i] [/b]


   我说的不够清楚:不用构造函数方式,用基本不等式什么的{:shy:}

kuing 发表于 2018-4-28 21:41

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=26384&ptid=5326]7#[/url] [i]lemondian[/i] [/b]

我6#不是回复你

kuing 发表于 2018-4-28 23:07

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=26384&ptid=5326]7#[/url] [i]lemondian[/i] [/b]

p=a+b, q=ab,条件用 p, q 表示,解出 q,利用 0<q<p^2/4 解出 p 的范围,进而得出 q 的范围。

isee 发表于 2018-4-29 09:55

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=26381&ptid=5326]6#[/url] [i]kuing[/i] [/b]

唉,思维定势害人啊,因为我接触到的(或者说高考范围内)
全是[color=Red]和[/color]的形式,而有积的形式时,很多时候取对数也变成和的形式了,而来,这个漂移还可以是[color=Red]积[/color]形式。

(差与商是就真不能这样漂了吧?)

lemondian 发表于 2018-4-29 10:38

那么这个呢?
[attach]6136[/attach]
又能推广不?

kuing 发表于 2018-4-29 16:43

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=26393&ptid=5326]11#[/url] [i]lemondian[/i] [/b]

既然都玩开了漂移,还是继续用漂移套路来玩吧……


\begin{align*}
f(x)&=x^4-x^3,\\
g(x)&=\frac37x^2(x^2-1),
\end{align*}
其中 `x\in(0,1)`,易知 `f(x)` 在 `(0,3/4)` 上递减,在 `(3/4,1)` 上递增,两者作差分解有
\[f(x)-g(x)=\frac17x^2(1-x)(3-4x),\]
可见在 `(0,3/4)` 上 `f(x)>g(x)`,在 `(3/4,1)` 上 `f(x)<g(x)`。

由条件知 `f(a)=f(b)`,设其值为 `m`,则 `g(x)=m` 也有两根 `c`, `d`, `c<d`,且必有 `c<a`, `d<b`,而由韦达定理知 `c^2+d^2=1`,所以 `a^2+b^2>1`。

附图形:
[attach]6137[/attach]

lemondian 发表于 2018-4-29 18:25

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=26398&ptid=5326]12#[/url] [i]kuing[/i] [/b]

神人,还没看懂!
给一个一般的证明吧:
[attach]6138[/attach]

kuing 发表于 2018-4-29 20:11

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=26399&ptid=5326]13#[/url] [i]lemondian[/i] [/b]

这种证明虽然巧妙,但不具一般性,不易做推广。
比如说,仿12#的方法还可以证明 `a^3+b^3<1`,你用“一般的证明”试试。

lemondian 发表于 2018-4-29 21:15

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=26401&ptid=5326]14#[/url] [i]kuing[/i] [/b]


    说得对头!

lemondian 发表于 2018-5-2 08:36

[i=s] 本帖最后由 lemondian 于 2018-5-2 08:47 编辑 [/i]

今天又看了#12,再一次体会这其中的N呀!K神是如何想到g(X) 这个函数的呢?
另:别人给出了这个:不知是否正确?
[attach]6152[/attach]

如果正确,是否可作一个推广呢?

kuing 发表于 2018-5-2 12:25

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=26445&ptid=5326]16#[/url] [i]lemondian[/i] [/b]

一样操作:设
\begin{align*}
f(x)&=x^5-x^4,\\
g(x)&=\frac{20}{61}x^3(x^3-1),
\end{align*}
其中 `x\in(0,1)`,易知 `f(x)` 在 `(0,4/5)` 上递减,在 `(4/5,1)` 上递增,两者作差分解有
\[f(x)-g(x)=\frac1{61}x^3(1-x)(4x-5)(5x-4),\]
可见在 `(0,4/5)` 上 `f(x)>g(x)`,在 `(4/5,1)` 上 `f(x)<g(x)`。

由条件知 `f(a)=f(b)`,设其值为 `m`,则 `g(x)=m` 也有两根 `c`, `d`, `c<d`,且必有 `c<a`, `d<b`,而由韦达定理知 `c^3+d^3=1`,所以 `a^3+b^3>1`。

图形就不附了,因为贴得比较近,看不清。

lemondian 发表于 2018-5-2 16:55

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=26446&ptid=5326]17#[/url] [i]kuing[/i] [/b]
再次被秒!{:lol:}
K神:如何构造出g(x)的?
这题能否推广?

kuing 发表于 2018-5-2 17:00

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=26448&ptid=5326]18#[/url] [i]lemondian[/i] [/b]

构造方法很明显,自己想想。
推广可能不容易,懒得想了。

lemondian 发表于 2018-5-30 11:20

求助这个不等式的证明:
设a,b是互不相等的正数,且满足$a^{n+2}-b^{n+2}=a^{n+1}-b^{n+1}$.求证:$a^n+b^n\geqslant 1$
也就是11#--17#的推广啦

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