嵌套根式取整
[attach]6098[/attach] 因为\begin{align*}
3&=\sqrt {(2+1)^2}\\
&=\sqrt {2^2+\sqrt {(2^2+1)^2}}\\
&=\sqrt {2^2+\sqrt {2^4+\sqrt {(2^3+1)^2}}}\\
&=\sqrt {2^2+\sqrt {2^4+\sqrt {2^6+\sqrt {(2^4+1)^2}}}}\\
&=\cdots \\
&=\sqrt {2^2+\sqrt {2^4+\sqrt {2^6+\cdots +\sqrt {2^{2(n-1)}+\sqrt {(2^n+1)^2}}}}},
\end{align*}
由此显然有
\[\sqrt {2+\sqrt {3+\sqrt {4+\cdots +\sqrt n}}}<3,\]
所以
\[\sqrt {1+\sqrt {2+\sqrt {3+\cdots +\sqrt n}}}<\sqrt {1+3}=2,\]
二次根号尚且小于 `2`,三次根号就更小了,即 `S<2`,又显然 `S>1`,所以 `[S]=1`。 [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=26276&ptid=5312]2#[/url] [i]kuing[/i] [/b]
赞! 第一个“显然”是需要理解的,要求两式项数有限且相等,不能是无穷。
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