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isee 发表于 2018-4-14 00:39

几何很浓的向量高三一调填空题:$\vv {BD}=x\vv{BA}+y\vv{BC}$

福州2018年3月高三理科一调第16题(有答案,可自查)

kuing 发表于 2018-4-14 01:44

然而并没什么几何的东西在里面,只是考你对向量坐标的理解。

为了更易理解,把图形这样放:
[attach]6075[/attach]
那么,在以 $\vv{BA}$, $\vv{BC}$ 为基底建立的坐标系中,直线 `AC` 的方程就是 `x+y=1`,即 `y=-x+1`,
而由 `\angle DCA=2\angle BAC` 可知 `CD` 与 `AC` 的斜率相反,因此直线 `CD` 的方程就是 `y=x+1`,即 `x-y=-1`,
所以答案就是 `-1`。

其妙 发表于 2018-4-14 01:51

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=26179&ptid=5303]2#[/url] [i]kuing[/i] [/b]
但我理解了isee的几何方法,等量延长CB至E,再延长AE、DB交于F,利用垂直条件和2倍角,立得AEF//DC,于是BD=BF,立得$x-y=-1$

isee 发表于 2018-4-14 09:16

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=26179&ptid=5303]2#[/url] [i]kuing[/i] [/b]


最好,$AC$的斜率改为$-\tan \alpha$,当然,浪费掉好的题的方法,是抢时间的,推荐的

isee 发表于 2018-4-14 09:17

[quote]回复  kuing
但我理解了isee的几何方法,等量延长CB至E,再延长AE、DB交于F,利用垂直条件和2倍角,立得AE ...
[size=2][color=#999999]其妙 发表于 2018-4-14 01:51[/color] [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=26180&ptid=5303][img]http://kuing.orzweb.net/images/common/back.gif[/img][/url][/size][/quote]
啧,浓浓几何味

色k 发表于 2018-4-14 10:00

[quote]回复  kuing

最好,$AC$的斜率改为$-\tan \alpha$,当然,浪费掉好的题的方法,是抢时间的,推荐的 ...
[size=2][color=#999999]isee 发表于 2018-4-14 09:16[/color] [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=26184&ptid=5303][img]http://kuing.orzweb.net/images/common/back.gif[/img][/url][/size][/quote]
nonono,斜率就是 `-1`,因为我那基底是 $\vv{BA}$, $\vv{BC}$,而不是单位向量

isee 发表于 2018-4-14 10:11

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=26186&ptid=5303]6#[/url] [i]色k[/i] [/b]

哎,服了服了。。。。。外星人,k

敬畏数学 发表于 2018-4-14 14:21

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=26180&ptid=5303]3#[/url] [i]其妙[/i] [/b]
{:victory:}

敬畏数学 发表于 2018-4-14 14:28

当然可以将直线看作斜率-1,另外自然位1了,特殊值玩玩就行了,没有必要伤脑筋,偷偷懒懒。

isee 发表于 2018-4-14 14:38

[quote]回复  kuing
但我理解了isee的几何方法,等量延长CB至E,再延长AE、DB交于F,利用垂直条件和2倍角,立得AE ...
[size=2][color=#999999]其妙 发表于 2018-4-14 01:51[/color] [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=26180&ptid=5303][img]http://kuing.orzweb.net/images/common/back.gif[/img][/url][/size][/quote]

还能更简些(好像是标答给的)。

延长AB,DC相交于点M,则
\begin{align*}
\vv {BD}&=x\vv{BA}+y\vv{BC}\\
&=-x\vv{BM}+y\vv{BC}\\
\therefore -x+y&=1
\end{align*}

kuing 发表于 2018-4-14 15:06

[quote]当然可以将直线看作斜率-1,另外自然位1了,特殊值玩玩就行了,没有必要伤脑筋,偷偷懒懒。 ...
[size=2][color=#999999]敬畏数学 发表于 2018-4-14 14:28[/color] [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=26191&ptid=5303][img]http://kuing.orzweb.net/images/common/back.gif[/img][/url][/size][/quote]
不是“看作”,是真的是-1,见6#的解释,这并不是玩特殊值,我从不玩特殊值。唉

其妙 发表于 2018-4-14 15:47

[quote]当然可以将直线看作斜率-1,另外自然位1了,特殊值玩玩就行了,没有必要伤脑筋,偷偷懒懒。 ...
[size=2][color=#999999]敬畏数学 发表于 2018-4-14 14:28[/color] [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=26191&ptid=5303][img]http://kuing.orzweb.net/images/common/back.gif[/img][/url][/size][/quote]
人家“酷淫”早在2楼就已经说了“”然而……,只是考你对向量坐标的理解。”,只要你理解了向量坐标就是“基向量的系数”就可以啦,从而得到点在基向量下的坐标(可能不是正交坐标系下的坐标,所谓正交指的是既垂直又是单位向量的两个向量作为基底,此时的斜率$k$就是$k=\tan\alpha$,如果不是垂直或者不是单位向量,那么斜率$k\neq\tan\alpha$),直线的方程$y
=kx+b$的$k$叫“斜率”是应当加引号的(是广义的斜率了,不是平常的狭义的斜率了)

其妙 发表于 2018-4-14 15:51

[quote]还能更简些(好像是标答给的)。

延长AB,DC相交于点M,则
\begin{align*}
\vv {BD}&=x\vv{BA}+y\vv{BC} ...
[size=2][color=#999999]isee 发表于 2018-4-14 14:38[/color] [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=26192&ptid=5303][img]http://kuing.orzweb.net/images/common/back.gif[/img][/url][/size][/quote]
两种辅助线方法本质上是一样的,都是构造等腰三角形的三线合一,此时两种辅助线方法都成功的利用了“垂直和2倍角条件”。基本上是一样的思维量和计算量{:lol:}

isee 发表于 2018-4-14 18:36

[quote]两种辅助线方法本质上是一样的,都是构造等腰三角形的三线合一,此时两种辅助线方法都成功的利用了“垂直 ...
[size=2][color=#999999]其妙 发表于 2018-4-14 15:51[/color] [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=26196&ptid=5303][img]http://kuing.orzweb.net/images/common/back.gif[/img][/url][/size][/quote]

扯,辅助线少多了。不听你说的

敬畏数学 发表于 2018-4-14 20:10

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=26195&ptid=5303]12#[/url] [i]其妙[/i] [/b]
你说得这些显然。但是直线方程这套东西?

游客 发表于 2018-4-17 10:50

仿射坐标下的直线方程其实就是三点共线的那个结论:m+n=1.
要延长就延长AB和DC好了.

isee 发表于 2018-4-17 17:21

[i=s] 本帖最后由 isee 于 2018-4-17 17:28 编辑 [/i]

只能说,论坛里的朋友水准真的很高,不仅秒了,且看透了问题的实际。


考场硬算。

[color=Red]另解[/color]

$$\vv {BD}=x\vv{BA}+y\vv{BC}\iff \vv {CD}=x\vv{BA}+(y-1)\vv{BC}.$$
两边分别点乘$\vv{BA},\vv{BC}$可得到
$$\left\{\begin{aligned} \vv{CD}\cdot {BA}=xBA^2,\\\vv{CD}\cdot \vv{BC}=(y-1)BC^2 \end{aligned}\right.$$

设$\angle ACB=\alpha$,则$\angle ACD=\pi-\alpha$,方便书写,记$BC=a,AB=c,\frac{CD}{AC}=m$,
$$\left\{\begin{aligned} x=CD\sin\alpha=m,\\y=m+1\end{aligned}\right.\Rightarrow x-y=-1.$$

isee 发表于 2018-4-17 17:34

[i=s] 本帖最后由 isee 于 2018-4-17 17:43 编辑 [/i]

[color=Red]另另解[/color]

[align=center][attach]6094[/attach][/align]

将$\triangle ABC$沿$AC$翻折得到$\triangle ABE$,由题设可知$$AE \sslash DC.$$

\begin{align*}
\vv {BD}&=x\vv{BA}+y\vv{BC}\\
\vv {CD}&=x(-0.5\vv{EC}+\vv{EA})+(y-1)\cdot 0.5\vv{EC}\\
\vv {CD}&=-0.5(x-y+1)\vv{EC}+x\vv{EA}
\end{align*}

又$$\vv{AE} \sslash \vv{DC}.$$
故$$-0.5(x-y+1)=0.$$

其妙 发表于 2018-4-17 17:50

[quote]另另解



将$\triangle ABC$沿$AC$翻折得到$\triangle ABE$,由题设可知$$AE \sslash DC.$$

\begin{align ...
[size=2][color=#999999]isee 发表于 2018-4-17 17:34[/color] [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=26250&ptid=5303][img]http://kuing.orzweb.net/images/common/back.gif[/img][/url][/size][/quote]
你这就把3楼的过程详细化了,是不是?

敬畏数学 发表于 2018-4-18 08:19

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=26240&ptid=5303]16#[/url] [i]游客[/i] [/b]
要得,就是这意思咯!{:victory:}

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