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tommywong 发表于 2018-4-5 17:19

求$\sum \frac{1}{(2a+b+c)^2}$最大值

[b][size=5]这是台湾网友 [color=Red]YAG[/color] 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子,

欢迎大家一起来想想如何解答:[/size][/b]

[url]http://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=2&Id=11747&page=3[/url]

a,b,c為正數,$\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=a+b+c$

求$\displaystyle \frac{1}{(2a+b+c)^2}+\frac{1}{(2b+c+a)^2}+\frac{1}{(2c+a+b)^2}$的最大值

kuing 发表于 2018-4-5 21:35

有点弱啊,首先当 $a=b=c=1$ 时原式等于 $3/16$,下面证明
\[\sum\frac 1{(2a+b+c)^2}\leqslant \frac 3{16},\]
条件去分母为 $ab+bc+ca=abc(a+b+c)$,所以上式齐次化即证
\[\sum\frac 1{(2a+b+c)^2}\leqslant \frac 3{16}\cdot \frac {ab+bc+ca}{abc(a+b+c)},\]
由均值有
\[\sum\frac 1{(2a+b+c)^2}\leqslant \sum\frac 1{4(a+b)(a+c)}=\frac {a+b+c}{2(a+b)(b+c)(c+a)},\]
由 $(ab+bc+ca)^2\geqslant 3abc(a+b+c)$ 有
\[\frac 3{16}\cdot \frac {ab+bc+ca}{abc(a+b+c)}\geqslant \frac 9{16(ab+bc+ca)},\]
故此只需证
\[\frac {a+b+c}{2(a+b)(b+c)(c+a)}\leqslant \frac 9{16(ab+bc+ca)},\]

\[8(a+b+c)(ab+bc+ca)\leqslant 9(a+b)(b+c)(c+a),\]
这是熟知的,所以最大值就是 $3/16$。

几下放缩都很随意,可见不等式较弱。

tommywong 发表于 2018-4-6 05:36

[b]果然不等式还是要交给[color=Red]渣k[/color]!我已将帖子转贴到“数学中国论坛”,然后再让陆老师转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。[/b]

kuing 发表于 2018-4-6 23:23

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=26055&ptid=5287]3#[/url] [i]tommywong[/i] [/b]

你觉不觉得那帖里的解答有问题?

tommywong 发表于 2018-4-7 18:07

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=26059&ptid=5287]4#[/url] [i]kuing[/i] [/b]

是有问题的

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