悠闲数学娱乐论坛(第2版) » 初等数学讨论 » 一个不等式

zhcosin 发表于 2018-4-2 17:26

一个不等式

[i=s] 本帖最后由 zhcosin 于 2018-4-2 18:23 编辑 [/i]

近期群里讨论的一个不等式:
[attach]6022[/attach]
取等条件没有仔细验证，因为看别人已经得出了取等条件了，就懒了。

kuing 发表于 2018-4-2 17:42

\begin{align*}
P&\leqslant \sqrt {(x^2+y^2)(1-y^2+1-x^2)}+\sqrt {\frac 23}\sqrt {x^2+y^2}\\
&=\sqrt t\left( {\sqrt {2-t}+\sqrt {\frac 23}} \right)\\
&\leqslant \sqrt t\sqrt {2\left( {2-t+\frac 23} \right)}\\
&=\sqrt 2\sqrt {t\left( {\frac 83-t} \right)}\\
&\leqslant \sqrt 2\frac 43
\end{align*}

zhcosin 发表于 2018-4-2 18:23

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=25983&ptid=5279]2#[/url] [i]kuing[/i] [/b]


    牛逼呀

敬畏数学 发表于 2018-4-2 18:28

猜得X=Y，放缩两次即可，正常题。

敬畏数学 发表于 2018-4-2 20:41

能否变下，加个系数，估计就玩不转了，总觉得有点套路。

kuing 发表于 2018-4-2 21:35

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=25987&ptid=5279]5#[/url] [i]敬畏数学[/i] [/b]

前面两个根号的系数要相同，不然恐怕没得玩，后面的 x, y 系数可以不同（但也需要凑），比如可以改成：
\[P=18\bigl(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\bigr)+3x+4y,\]
三角换元后可知其本质是加权正弦和的问题，可以在《撸题集》里找到解法，具体在哪这里暂时不提。

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