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子小仙人 发表于 2018-3-29 19:25

初一数学,几道小题(例二在帖子:小学奥数里)

[i=s] 本帖最后由 子小仙人 于 2018-3-31 18:28 编辑 [/i]

例一:我们规定:若一个自然数能表示成两个非零自然数的平方差,则把这两个自然数称为”智慧数”,如16=5^{2}-3^{2},则16称为智慧数。
请判断:在自然数列中,从1数起,第2000个智慧数是哪个数?

(初次发帖,多多关照{:biggrin:} )

子小仙人 发表于 2018-3-29 19:27

$16=5^{2}-3^{2}$

子小仙人 发表于 2018-3-29 19:27

[code]$16=5^{2}-3^{2}$[/code]

战巡 发表于 2018-3-30 02:44

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=25927&ptid=5270]1#[/url] [i]子小仙人[/i] [/b]

对于任意奇自然数$k$,可令自然数$a=\frac{k+1}{2}, b=\frac{k-1}{2}$,使得
\[a^2-b^2=(a+b)(a-b)=k·1=k\]
故任意奇自然数均满足条件

对偶自然数$k$,显然若要有$a^2-b^2=k$,必须有$a,b$同奇偶性,若$a,b$同偶,有$a^2-b^2 \mod 4=0$,若$a,b$同奇,仍然有
\[a^2-b^2=(2p+1)^2-(2q+1)^2=4(p+q+1)(p-q) \mod 4=0\]
故必然有$k \mod 4=0$
而对于任意$k \mod 4=0$,令$a=\frac{k}{4}+1, b=\frac{k}{4}-1$,即可满足条件,故任意$k \mod 4=0$均满足条件

剩下楼主自己搞定吧

realnumber 发表于 2018-3-30 18:17

4也要去掉

子小仙人 发表于 2018-3-30 22:11

[i=s] 本帖最后由 子小仙人 于 2018-3-31 18:27 编辑 [/i]

水平有限,战巡的过程俺没看懂,不过隐隐约约的看出一点与俺相同之处。总结几点发现:
1、奇数总是可以看成智慧数(除1外)
2、4的倍数是智慧数(除4外)
3、除以4余2的数不是智慧数
即:                   2k+1(除1外)     满足条件
                         4k(除4外)       满足条件
                         4k+2              不满足条件
过程:          \[奇数:2^{k+1}=k+1^{2}-k^{2}
                                     =k^{2}+2k+1-k^{2}
                                     =2k+1\]
                   \[偶数:4k=k+1^{2}-k-1^{2}
                              =k^{2}+2k+1-k^{2}+2k-1
                              =4k\]
可总结为:
                     在4个数中,有3个数满足条件,有1个不满足条件。
                   (前4个数中只有1个数满足条件)
可得:       \[\frac{200}{3}=666……2
                  666x4=2664\]
结果即为2669

kuing 发表于 2018-3-30 22:13

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=25937&ptid=5270]6#[/url] [i]子小仙人[/i] [/b]

打代码不用点那个代码按钮,像你2楼那样打就行了

子小仙人 发表于 2018-3-30 22:14

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=25938&ptid=5270]7#[/url] [i]kuing[/i] [/b]
哦,好的:){:smile:}

isee 发表于 2018-4-1 22:26

[quote]水平有限,战巡的过程俺没看懂,不过隐隐约约的看出一点与俺相同之处。总结几点发现:
1、奇数总是可以看成 ...
[size=2][color=#999999]子小仙人 发表于 2018-3-30 22:11[/color] [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=25937&ptid=5270][img]http://kuing.orzweb.net/images/common/back.gif[/img][/url][/size][/quote]


这个排版真是辛苦了,不过,排版方式却不推荐,纯手工。。。。

子小仙人 发表于 2018-4-3 18:15

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=25967&ptid=5270]9#[/url] [i]isee[/i] [/b]
呵呵。初来乍到,还要学习啊!

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