一道平几题（矩形四面积相等证平行四边形）
[attach]5988[/attach] 设 $AM:AB=x$, $BN:BC=y$, $CP:CD=z$, $DQ:DA=w$，则条件等价于\[(1-w)x=(1-x)y=(1-y)z=(1-z)w,\]
设此连等式的值为 $t$，则
\[\frac tx+\frac t{1-z}=1-w+w=1,\]
同理有
\[\frac tz+\frac t{1-x}=1,\]
由此可得
\[\frac1x-\frac1{1-x}=\frac1z-\frac1{1-z},\]
去分母因式分解为
\[(x-z)\bigl((1-x)(1-z)+xz\bigr)=0,\]
由于 $x$, $z\in(0,1)$，可见只能是 $x=z$，同理 $y=w$，代回连等式中还可以得出 $z=w$，因此 $x=y=z=w$。 [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=25829&ptid=5255]2#[/url] [i]kuing[/i] [/b]
我看到这个题特别想向MP与QN的中点重合方向上看，当然是否可行，还不知，哈哈 [quote]回复 kuing
我看到这个题特别想向MP与QN的中点重合方向上看，当然是否可行，还不知，哈哈 ...
[size=2][color=#999999]isee 发表于 2018-3-24 00:16[/color] [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=25830&ptid=5255][img]http://kuing.orzweb.net/images/common/back.gif[/img][/url][/size][/quote]
想了下，用同一法。
显然MQPN是平行四边形符合题设。
如果MQPN不是平行四边形，则作平行四边形MQP'N'，其中，P'在CD上，N'在BC上.
由四个三角形的面积相等，可先证得P'与P重合，进一步得N'与N重合。 [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=25831&ptid=5255]4#[/url] [i]isee[/i] [/b]
平行四边形不一定符合题设，还需要那四个比例都相等。 [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=25833&ptid=5255]5#[/url] [i]kuing[/i] [/b]
把四个三角形面积相等当成条件了，相当于代数里的分类讨论，是有点不自然。。 [attach]6006[/attach]
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