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lemondian 发表于 2018-3-6 17:16

共焦点,共准线的椭圆与抛物线的两个性质求证

设椭圆和抛物线的公共焦点为F,对应的公共准线为f,过抛物线上一点A作椭圆的两条切线,切点分别为M,N,那么
(1)FA平分$\angle MFN$,
(2)$\angle MFN$为定值。
(不知表述清楚了没{:sweat:} )
试图用解析法去求解,运算量太大,搞不掂,而且总觉得能用上平几。?

isee 发表于 2018-3-6 20:57

参考一般情况 撸题集 P517 题目 4.7.21  中的 注 部分

lemondian 发表于 2018-3-6 21:37

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=25624&ptid=5228]2#[/url] [i]isee[/i] [/b]


    现在在外,无法看到你说的,能否截个图上来呢?麻烦你了。

kuing 发表于 2018-3-6 21:46

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=25624&ptid=5228]2#[/url] [i]isee[/i] [/b]

那里也只是有第(1)问

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=25625&ptid=5228]3#[/url] [i]lemondian[/i] [/b]

看图 4.7.23,利用椭圆的光学性质证明蓝色和绿色的三角形全等。
[attach]5938[/attach]

第(2)问还有待研究。

isee 发表于 2018-3-6 22:18

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=25626&ptid=5228]4#[/url] [i]kuing[/i] [/b]

没注意还有一问

kuing 发表于 2018-3-7 03:03

对于第(2)问,我觉得研究它的逆命题更好,而纵观整个问题,很明显采用极坐标来玩会更好玩。

先给出如下引理:

在极坐标下,设圆锥曲线 $\Gamma$ 的方程为
\[\rho=\frac{ep}{1-e\cos\theta},\]
则其上的点 $P\bigl(\theta_0,\rho(\theta_0)\bigr)$ 处的切线方程为
\[\rho=\frac{ep}{\cos(\theta_0-\theta)-e\cos\theta}.\]

这个引理的严格证明我就不写了,因为其实很容易看出它是成立的,首先容易知道后者是一条直线,其次两者联立时显然只有 $\theta=\theta_0$ 这一解。

下面研究:如上所述的 $\Gamma$ 上有两个动点 $P_1\bigl(\theta_0,\rho(\theta_0)\bigr)$, $P_2\bigl(\theta_0+\alpha,\rho(\theta_0+\alpha)\bigr)$,其中 $\alpha$ 为 $(0,\pi)$ 内的定值,设 $P_1$, $P_2$ 两处的切线的交点为 $P$,求 $P$ 的轨迹方程。

根据引理,$P_1$, $P_2$ 两处的切线方程分别为
\begin{align*}
\rho&=\frac{ep}{\cos(\theta_0-\theta)-e\cos\theta},\\
\rho&=\frac{ep}{\cos(\theta_0+\alpha-\theta)-e\cos\theta},
\end{align*}
联立它们,得
\[\cos(\theta_0-\theta)=\cos(\theta_0+\alpha-\theta)
\iff\theta_0-\theta=-(\theta_0+\alpha-\theta)
\iff\theta=\theta_0+\frac\alpha2,\]
(这也相当于解决了第(1)问)代回去即得 $P$ 的轨迹方程为
\[\rho=\frac{ep}{\cos(\alpha/2)-e\cos\theta},\]
若记
\[e'=\frac e{\cos(\alpha/2)},\]
那么轨迹即为
\[\rho=\frac{e'p}{1-e'\cos\theta},\]
这说明 $P$ 的轨迹必然是与 $\Gamma$ 共焦点、共准线的圆锥曲线,而且离心率比 $\Gamma$ 的要大。

特别地,当 $\Gamma$ 为椭圆且定值 $\alpha$ 满足 $\cos(\alpha/2)=e$ 时,$P$ 的轨迹就是抛物线,因此,反过来,对于1楼的原题目,那个角自然就是定值,而且其值为 $2\arccos e$。

kuing 发表于 2018-3-7 03:18

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=25629&ptid=5228]6#[/url] [i]kuing[/i] [/b]

验证一下最后的“特别地”:
[attach]5939[/attach]

lemondian 发表于 2018-3-7 08:14

谢谢各位:
先消化,体会一下,再讨教!
@kuing,凌晨三点还在写题,真心佩服,注意休息呀{:smile:}

kuing 发表于 2018-3-7 08:24

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=25631&ptid=5228]8#[/url] [i]lemondian[/i] [/b]

晚上灵感比较好,习惯了

继续睡鸟……

lemondian 发表于 2018-3-7 08:49

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=25630&ptid=5228]7#[/url] [i]kuing[/i] [/b]

1.有人也对第(2)问题作了研究:他用解析法(极烦)得到$cos\angle MFN=2e^2-1$,与你的不同?
2.引理的严格证明能不能写写?

kuing 发表于 2018-3-7 13:21

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=25633&ptid=5228]10#[/url] [i]lemondian[/i] [/b]

1.用一下两倍角公式不就一样了吗?[img]http://kuing.orzweb.net/attachments/month_1309/13090217098dcee3fe802d77a8.gif[/img][img]http://kuing.orzweb.net/attachments/month_1309/13090217098dcee3fe802d77a8.gif[/img][img]http://kuing.orzweb.net/attachments/month_1309/13090217098dcee3fe802d77a8.gif[/img]
2.不写

lemondian 发表于 2018-3-7 15:18

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=25637&ptid=5228]11#[/url] [i]kuing[/i] [/b]
哈,我整错了!{:funk:}
”不写“--->真直接{:lol:}

lemondian 发表于 2018-3-7 17:49

为了搞明白kuing写的东西,恶补了一下圆锥曲线的极坐标方程(好久不用了){:funk:}。真是牛人呀!

lemondian 发表于 2018-3-7 18:38

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=25626&ptid=5228]4#[/url] [i]kuing[/i] [/b]


    证明问题(1):我是这样证的。
[attach]5940[/attach]
由椭圆的光学性质,可否直接得全等?画红线部分要不要证明一下?

lemondian 发表于 2018-3-9 23:42

1楼中第一个问题:抛物线外点A,作抛物线的两条切线,切点为M,N,且抛物线焦点为F.那么FA平分MFN.
这个结论用光学性质,我证了。

不知,双曲线是否有同样结论?如何证明?

kuing 发表于 2018-3-10 00:47

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=25659&ptid=5228]15#[/url] [i]lemondian[/i] [/b]

注意 6# 的证明中对 $e$ 没有限制,因此无论是抛物线还是双曲线,都会有 $\theta=\theta_0+\alpha/2$,但回到几何意义上,在双曲线里,由于 $\rho$ 有可能为负,因此不一定是平分角,而有可能是平分[b]外[/b]角,比如这样:
[attach]5943[/attach]

lemondian 发表于 2018-3-10 08:36

[quote]回复  lemondian

注意 6# 的证明中对 $e$ 没有限制,因此无论是抛物线还是双曲线,都会有 $\theta=\theta ...
[size=2][color=#999999]kuing 发表于 2018-3-10 00:47[/color] [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=25660&ptid=5228][img]http://kuing.orzweb.net/images/common/back.gif[/img][/url][/size][/quote]

哗,这图画得真好!{:victory:}看得可清楚了,请问用什么作图软件?
再画一个双曲线,切点在同一支上的情况吧。
能不能用几何法来证双曲线情形中的平分角(或平分外角)呢?我图画不好,也证不来。{:sweat:}求助。。。

lemondian 发表于 2018-3-10 18:22

@kuing

lemondian 发表于 2018-3-11 18:39

问题(1)对于三种圆锥曲线终于证出来了!
谢谢各位帮助!{:victory:}
只是抛物线,双曲线切于同一支时,我不会用软件作图。
各位能不能画一个图形放出来呀?

lemondian 发表于 2018-4-27 09:12

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=25629&ptid=5228]6#[/url] [i]kuing[/i] [/b]

6#的引理,我无法写出您一样的切线方程?
请问是如何证的?求帮助!{:cry:}

lemondian 发表于 2018-4-27 17:43

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=26354&ptid=5228]20#[/url] [i]lemondian[/i] [/b]
用这个可以得到“K神”的切线结论,还是觉得麻烦了此,是不是还有更简单的方法呢?
[attach]6133[/attach][attach]6134[/attach]

kuing 发表于 2018-4-27 18:20

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=26363&ptid=5228]21#[/url] [i]lemondian[/i] [/b]

这是一般式,我以前也推过,还用了两种方法。
但是对于圆锥曲线来说不需要用它,其实简证我在6#已经说了啊。

isee 发表于 2018-4-27 18:39

我也是仅能验证,想不到,楼主估计看不明白的。

楼主按照21#的意思,直接求圆锥曲线上的任一点方程即可。

lemondian 发表于 2018-4-27 19:28

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=26364&ptid=5228]22#[/url] [i]kuing[/i] [/b]

想学习其证明,今天找到这个,验证了。
要不K神有空,写一下你的严格证明呗,让我这等小白学习。

lemondian 发表于 2018-11-6 15:44

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=25629&ptid=5228]6#[/url] [i]kuing[/i] [/b]
闲来无事,又翻出这个帖子:
@kuing:我还是不会极坐标在某点处的切线方程是如何得出来的?
能不能费心写一个呢?Please...

amoy1 发表于 2019-2-9 20:36

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=25623&ptid=5228]1#[/url] [i]lemondian[/i] [/b]

我家老书里有(封面没了,呒知原作者系谁人,姑且引用一下)
[attach]6957[/attach]
[attach]6958[/attach]
[attach]6959[/attach]
[attach]6960[/attach]
[attach]6961[/attach]
[attach]6962[/attach]
其他圆锥曲线中亦然(圆焦点重合,抛物线一焦点在无穷远处)

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