悠闲数学娱乐论坛(第2版) » 初等数学讨论 » 单位圆上根式函数的范围

敬畏数学 发表于 2018-1-16 15:39

单位圆上根式函数的范围

已知$x^2+y^2=1$,则$ \sqrt{2+x+\sqrt{3}y}+2\sqrt{2+x-\sqrt{3}y} $的范围______。

kuing 发表于 2018-1-16 16:34

这么简单，配个方不就好了
\[\text{原式}=\sqrt {\left( {x+\frac 12} \right)^2+\left( {y+\frac {\sqrt 3}2} \right)^2}+2\sqrt {\left( {x+\frac 12} \right)^2+\left( {y-\frac {\sqrt 3}2} \right)^2}\]

敬畏数学 发表于 2018-1-16 18:55

[i=s] 本帖最后由 敬畏数学 于 2018-1-16 19:15 编辑 [/i]

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=24978&ptid=5129]2#[/url] [i]kuing[/i] [/b]
很好！{:victory:}此法最简单。平方，三角换元等都有点啰嗦。

游客 发表于 2018-1-17 09:08

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=24980&ptid=5129]3#[/url] [i]敬畏数学[/i] [/b]


  后面还有个系数2要处理的，感觉跟三角方法差不多复杂。

敬畏数学 发表于 2018-1-17 10:28

[i=s] 本帖最后由 敬畏数学 于 2018-1-17 10:47 编辑 [/i]

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=24988&ptid=5129]4#[/url] [i]游客[/i] [/b]
把完整过程写完。设$ P （x,y）,A(-\dfrac{1}{2},-\dfrac{\sqrt{3}}{2}),B(-\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2}),PA+2PB\geqslant PA+PB\geqslant AB=\sqrt{3}(P与B重合),PA+2PB= 2sin(120-A)+4sinA\leqslant 2\sqrt{7}$,(最后一步用正弦定理)。等号略。答案：$[\sqrt{3},2\sqrt{7}].$

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