悠闲数学娱乐论坛(第2版)'s Archiver

isee 发表于 2018-1-14 11:20

来自人教群一道圆内接四边形相关的比例

[i=s] 本帖最后由 isee 于 2018-1-14 11:23 编辑 [/i]

如附件。

文字如下:已知圆内接四边形$ABCD$,两组对边的延长线分别交$E$,$F$两点。
求证:(1)$EC\cdot DF=CF\cdot BE$;(2)若$\triangle ABD$是等边三角形时,则:$BD^2=BE\cdot DF$.

isee 发表于 2018-1-14 11:25

[i=s] 本帖最后由 isee 于 2018-1-14 11:40 编辑 [/i]

好久未见这种题了。目前中学基本不放圆幂定理了。

此题初看是圆幂定理,细看其实是相似三角形。

[attach]5772[/attach]

如图,点$E$'在直线$ED$线上,使$FD=DE'$,则$$\angle EBC=\angle ADC=\angle E'DF=\angle CE'F。$$
从而
$$\triangle BEC \sim \triangle E'FC.$$

$$\frac{BE}{EC}=\frac{FE'}{FC}=\frac{FD}{FC}\iff BE\cdot FC=EC\cdot FD.$$

    当$\triangle ABD$为正三角形,则$$\angle EBD=\angle BCD=\angle BDF=120^\circ.$$

    从而$$\triangle EBD \sim \triangle BCD\sim\triangle BDF\Rightarrow \frac {BE}{BD}=\frac{BD}{DF}.$$

    化积即可。

色k 发表于 2018-1-14 12:15

第一问懒得画辅助线的话用正弦定理,等价于互补角正弦等,不过其实和那辅助线本质上一样。。。

页: [1]

Powered by Discuz! Archiver 7.2  © 2001-2009 Comsenz Inc.