悠闲数学娱乐论坛(第2版) » 初等数学讨论 » a+b=1/2,求证a^8+b^8≥1/2^7

走走看看 发表于 2018-1-13 21:41

a+b=1/2,求证a^8+b^8≥1/2^7

这道题经验证是错的，但我看不出来如下解答中的错误何在。
来自教师备课网中的资料：
[attach]5769[/attach]
请大师们帮我看看。

kuing 发表于 2018-1-13 22:00

红字第三行开头开始错，那里外面应该是4次方了

走走看看 发表于 2018-1-14 08:28

[i=s] 本帖最后由 走走看看 于 2018-1-14 09:44 编辑 [/i]

谢谢k神！

还想请教一个问题：
正数x，y，z满足2x+2y+z=1，求：3xy+yz+zx最大值。
网上的答案都没有用柯西不等式，但这道题却是柯西不等式中的练习题某一大题的第一小题。

您看这样解答行不行？
$3xy+yz+zx≤3*(\frac{x+y}{2})^2+(\frac{y+z}{2})^2+(\frac{z+x}{2})^2，成立的条件是x=y=z，$
这样就变成了求左边的最小值。
$因为[3*(\frac{x+y}{2})^2+(\frac{y+z}{2})^2+(\frac{z+x}{2})^2](3+1+1)≥[3*\frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{z+x}{2}]^2=1，成立条件也是x=y=z，$
$因而3xy+yz+zx最大值为\frac{1}{5}。$

kuing 发表于 2018-1-14 09:47

[quote]$3xy+yz+zx≤3*(\frac{x+y}{2})^2+(\frac{y+z}{2})^2+(\frac{z+x}{2})^2，成立的条件是x=y=z，$
这样就变成了求左边的最小值。
$因为[3*(\frac{x+y}{2})^2+(\frac{y+z}{2})^2+(\frac{z+x}{2})^2](3+1+1)≥[3*\frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{z+x}{2}]^2=1，成立条件也是x=y=z，$
$因而3xy+yz+zx最大值为\frac{1}{5}。$
[size=2][color=#999999]走走看看 发表于 2018-1-14 08:28[/color] [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=24920&ptid=5123][img]http://kuing.orzweb.net/images/common/back.gif[/img][/url][/size][/quote]
你这解题格式：
求 $F$ 的最大值，因为 $F\le G$，变成求 $G$ 的最小值，因为 $G\ge C$，两个取等条件相同，因而 $F$ 的最大值为 $C$。
逻辑就是：
由 $F\le G$, $G\ge C$ 且两个取等条件相同，得出 $F\le C$。
这简直。。。。。。。。

走走看看 发表于 2018-1-14 20:30

谢谢您！

我搞不清楚，上面的题目和如下的题目有什么不同。
$对于任意的a＞b＞c，\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}≥\frac{t}{a-c}恒成立，求t的最大值。$

$t≤（\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}）（a-c），也就是求\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}的最小值。$
$(\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c})(a-c)=(\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c})[(a-b)+(b-c)]≥（1+1）^2=4。$
$所以t≤4，t的最大值为4。$

这两题有什么本质区别呢？请赐教！

游客 发表于 2018-1-14 21:42

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=24920&ptid=5123]3#[/url] [i]走走看看[/i] [/b][attach]5777[/attach]

kuing 发表于 2018-1-14 22:22

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=24942&ptid=5123]5#[/url] [i]走走看看[/i] [/b]

4楼的 F 是 3xy+yz+zx，5楼的 t 是什么？

走走看看 发表于 2018-1-14 22:35

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=24946&ptid=5123]7#[/url] [i]kuing[/i] [/b]

F是变量，t是参数。
这就是它们的不同吗？太玄妙了！

走走看看 发表于 2018-1-14 22:42

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=24945&ptid=5123]6#[/url] [i]游客[/i] [/b]

完整的题目是：
$正数x，y，z满足2x+2y+z=1，$
$（1）求：3xy+yz+zx最大值;$
$（2）证明：\frac{3}{1+xy}+\frac{1}{1+yz}+\frac{1}{1+zx}≥\frac{125}{26} 。 $
在提供的参考答案里，（1）没有用柯西不等式；（2）用的是柯西不等式。

kuing 发表于 2018-1-14 22:54

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=24948&ptid=5123]9#[/url] [i]走走看看[/i] [/b]

这样看命题者就是想让你利用第一问的结果来证第二问（见《撸题集》第 33 页题目 1.1.39）。

走走看看 发表于 2018-1-15 10:24

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=24949&ptid=5123]10#[/url] [i]kuing[/i] [/b]

不错，应该是这样的。

$另外，若这样：3xy+yz+zx≤3*(\frac{x+y}{2})^2+(\frac{y+z}{2})^2+(\frac{z+x}{2})^2，成立的条件是x=y=z，$
$而2x+2y+z=1，所以当x=y=z=\frac{1}{5}时，上式≤\frac{5}{25}=\frac{1}{5}。行吗？$

色k 发表于 2018-1-15 10:37

唉。。。。。。。。。

走走看看 发表于 2018-1-15 11:34

[i=s] 本帖最后由 走走看看 于 2018-1-15 12:52 编辑 [/i]

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=24960&ptid=5123]12#[/url] [i]色k[/i] [/b]

想把相关问题彻底搞清楚，因为网上作业帮有好几个人在回答其他问题问题时，是这样处理的。
既觉得怀疑，但又觉得没有什么不妥，符合不等式的传递性。

游客 发表于 2018-1-15 16:09

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=24958&ptid=5123]11#[/url] [i]走走看看[/i] [/b][attach]5779[/attach]

走走看看 发表于 2018-1-15 19:13

[i=s] 本帖最后由 走走看看 于 2018-1-17 11:09 编辑 [/i]

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=24966&ptid=5123]14#[/url] [i]游客[/i] [/b]

谢谢游客大师！按照您的图示，确实不能那样断定。

不过，这里有个链接被人选为最佳答案。可见概念不清的大有人在。
[url]https://www.zybang.com/question/4e923932ac939a905599fafd9a957f18.html[/url] 。

走走看看 发表于 2018-2-22 12:35

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=24916&ptid=5123]1#[/url] [i]走走看看[/i] [/b]


现在看来，错误比较明显。

按照如下方式书写就不容易犯错了：

[attach]5892[/attach]

走走看看 发表于 2018-2-22 13:14

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=24945&ptid=5123]6#[/url] [i]游客[/i] [/b]

这个解答比参考答案的解答自然些。
参考答案把z替换成x+y，然后考察x+y的一元二次函数。

其妙 发表于 2018-2-22 23:50

a+b=1/2,求证a^8+b^8≥1/2^7，
有没有a，b为正数的条件？

走走看看 发表于 2018-2-23 10:13

[i=s] 本帖最后由 走走看看 于 2018-2-23 10:15 编辑 [/i]

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=25393&ptid=5123]18#[/url] [i]其妙[/i] [/b]

$题目错，应是\frac{1}{2^{15}}。$
没有限定。

其妙 发表于 2018-2-23 12:16

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=25397&ptid=5123]19#[/url] [i]走走看看[/i] [/b]
a+b=1/2，求证a^8+b^8≥1/2^15，
假如你不想用柯西不等式，可以考虑用均值换元（等差数列换元）：设a=1/4+t，b=1/4-t，下面用二项式定理（8次方的展开式[img]http://kuing.orzweb.net/attachments/month_1309/1309021709bf9f48459392402d.gif[/img]）：
则a^8+b^8=(1/4+t)^8+(1/4-t)^8=2▪(1/4)^8+2▪t^8+……（只剩下t的偶次方，且t的偶次方系数为正数，t的奇次方抵消了变为0）
                 ≥2▪(1/4)^8=1/2^15

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