悠闲数学娱乐论坛(第2版) » 初等数学讨论 » 圆锥曲线切线方程的一个巧妙证明

zhcosin 发表于 2017-10-11 17:16

圆锥曲线切线方程的一个巧妙证明

大概在两年前，初等数学笔记工程还在蕴粮的时候，就灵光一闪，想出了椭圆切线方程的这个巧妙的证明，但当时对于双曲线和抛物线，没有细想，前几天论坛有人发帖问双曲线的切线方程证明，细想之下又把双曲线的给想出来了，而抛物线的太简单也就出来了，这就是下面的证明。不过要说明的是，在这里切线的定义是用直线与圆锥曲线仅有唯一公共点来定义的。
[attach]5437[/attach]
[attach]5438[/attach]

kuing 发表于 2017-10-12 03:46

我的习惯是用柯西及其类似，写起来比较对称：
\begin{align*}
(a^2 + b^2) (c^2 + d^2) = (a c + b d)^2 + (a d - b c)^2 &\riff (a^2 + b^2) (c^2 + d^2) \geqslant (a c + b d)^2 ,\\
(a^2 - b^2) (c^2 - d^2) = (a c - b d)^2 - (a d - b c)^2 &\riff (a^2 - b^2) (c^2 - d^2) \leqslant (a c - b d)^2 ,\\
\end{align*}
所以有
\begin{align*}
\left(\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}\right)
\left(\frac{x_T^2}{a^2}+\frac{y_T^2}{b^2}\right)
\geqslant\left(\frac{x_0x_T}{a^2}+\frac{y_0y_T}{b^2}\right)^2 & \riff \frac{x_T^2}{a^2}+\frac{y_T^2}{b^2}\geqslant1,\\
\left(\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}\right)
\left(\frac{x_T^2}{a^2}-\frac{y_T^2}{b^2}\right)
\leqslant\left(\frac{x_0x_T}{a^2}-\frac{y_0y_T}{b^2}\right)^2 &\riff \frac{x_T^2}{a^2}-\frac{y_T^2}{b^2}\leqslant1.
\end{align*}

zhcosin 发表于 2017-10-12 07:36

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=23305&ptid=4927]2#[/url] [i]kuing[/i] [/b]
niubility，不愧是不等式高手。

游客 发表于 2017-10-12 08:26

圆锥曲线的切线，点差法加个极限就好了，不用计算，也能用于作图。

zhcosin 发表于 2017-10-13 10:47

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=23305&ptid=4927]2#[/url] [i]kuing[/i] [/b]
太漂亮，赶紧收进笔记 {:lol:}。

isee 发表于 2017-10-13 12:30

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=23308&ptid=4927]4#[/url] [i]游客[/i] [/b]


    这个我也喜欢。

isee 发表于 2017-10-13 12:31

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=23357&ptid=4927]5#[/url] [i]zhcosin[/i] [/b]


    一块得个玉$$
(a^2 - b^2) (c^2 - d^2) = (a c - b d)^2 - (a d - b c)^2 \riff (a^2 - b^2) (c^2 - d^2) \leqslant (a c - b d)^2
$$

走走看看 发表于 2018-2-10 12:04

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=23303&ptid=4927]1#[/url] [i]zhcosin[/i] [/b]


    4.6.3的第二个式子，符号笔误。

zhcosin 发表于 2018-2-10 20:51

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=25234&ptid=4927]8#[/url] [i]走走看看[/i] [/b]
确实，符号搞错了，这里是截图就懒得改了，在我笔记中改好就行了。

其妙 发表于 2018-2-10 21:55

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=23363&ptid=4927]7#[/url] [i]isee[/i] [/b]
还可以推广到n维{:smile:}

kuing 发表于 2018-12-20 11:41

刚刚群里一题，顺便整理到这里。
[attach]6816[/attach]
由于相交，故直线 `mx/a^2+ny/b^2=1` 上存在一点 `(x_0,y_0)` 使 `x_0^2/a^2+y_0^2/b^2<1`，故由柯西得
\[1=\left( \frac{mx_0}{a^2}+\frac{ny_0}{b^2} \right)^2\leqslant\left( \frac{m^2}{a^2}+\frac{n^2}{b^2} \right)\left( \frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2} \right)<\frac{m^2}{a^2}+\frac{n^2}{b^2},\]这就说明点 `(m,n)` 在椭圆外。

kuing 发表于 2018-12-20 12:51

另外，如果将楼上的题的“相交”改为“相离”，则也可以这样解：

设 `(x_0,y_0)` 是直线 `mx/a^2+ny/b^2=1` 与直线 `my=nx` 的交点，则有
\[1=\left( \frac{mx_0}{a^2}+\frac{ny_0}{b^2} \right)^2+\left( \frac{my_0}{ab}-\frac{nx_0}{ab} \right)^2=\left( \frac{m^2}{a^2}+\frac{n^2}{b^2} \right)\left( \frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2} \right),\]
由于 `mx/a^2+ny/b^2=1` 与椭圆外离，故 `(x_0,y_0)` 在椭圆外，即 `x_0^2/a^2+y_0^2/b^2>1`，故由上式知 `m^2/a^2+n^2/b^2<1`，即 `(m,n)` 在椭圆内。

敬畏数学 发表于 2018-12-20 13:24

这个貌似若干年前已经闹腾地厉害！

yjhailiang 发表于 2020-1-31 13:39

能不能用二次曲线的一般式，一次性得出结论？
我试过，没有成功

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