悠闲数学娱乐论坛(第2版)'s Archiver

zhcosin 发表于 2017-6-15 12:45

微积分与数学分析学习帖

[i=s] 本帖最后由 zhcosin 于 2018-1-21 22:33 编辑 [/i]

高等数学版块比较冷清,我来开个帖子自娱自乐吧,随时写点微积分的学习笔记什么的。PDF 文件发布在 [url=https://coding.net/u/zhcosin/p/math-notes-publish/git/blob/master/calculus-note.pdf]https://coding.net/u/zhcosin/p/math-notes-publish/git/blob/master/calculus-note.pdf[/url]

参考书:
1. 华东师范大学数学系《数学分析》(上、下) 高等教育出版社
2. [前苏联]菲赫金哥尔茨 《微积分学教程》(三卷本) 高等教育出版社
3. 华罗庚. 高等数学引论(共四册). 高等教育出版社.
4. [美]约翰 柯朗 微积分与数学分析引论. 科学出版社.
5. [前苏联]吉米诺维奇 数学分析习题集. 高等教育出版社.

zhcosin 发表于 2017-6-20 17:59

可以得反常积分来判别一类正项级数的敛散性.
[b]积分判别法[/b] 若可积函数$f(x)$在$[0,+\infty)$上恒取非负值且单调递减,则反常积分$\int_0^{+\infty}f(x)dx$与级数$\sum_{n=1}^{\infty}f(n)$有相同的敛散性。

[b]证明[/b]  令$S_n=\sum_{i=1}^nf(i)$,$I_n=\int_0^nf(x)dx$,则$S_n$和$I_n$都是单调增加的数列,又
  \[ I_n=\sum_{i=1}^n\int_{i-1}^if(x)dx \]
  由单调性,有
  \[ \sum_{i=1}^nf(i) \leqslant I_n \leqslant \sum_{i=1}^nf(i-1) \]
  即
  \[ S_n \leqslant I_n \leqslant f(0)+S_{n-1} \]
  可见,如果级数$\sum_{n=1}^{\infty}f(n)$收敛,则$S_n$有极限$S$,则$I_n$单调增加并有上界$f(0)+S$,因而$I_n$有极限(不一定是$S$),即反常积分$\int_{i=1}^{+\infty}f(x)dx$收敛。反之,如果反常积分收敛,则$I_n$有极限$I$,这时$S_n$单调增加并有上界$I$,因此$S_n$收敛,即级数$\sum_{i=1}^{\infty}f(n)$收敛。

需要说明的是,上述定理中的区间可以是任意的左闭右开区间$[a,+\infty)$,这时级数只要从大于$a$的任一正整数开始即可,从定理证明过程可以看出这并没有什么影响。

[b]例[/b]  对于正实数$p$,考虑如下的级数
  \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p} \]
  对应的函数$f(x)=1/x^p$在$[1/2,+\infty)$上单调递减,由于$p>1$时反常积分$\int_1^{+\infty}f(x)dx$收敛,所以此时级数也收敛,在$p \leqslant 1$时反常积分是发散的,所以此时级数也是发散的。

zhcosin 发表于 2017-6-26 15:27

懒得弄代码了,复制过来还要改来改去的,直接截图算了。
[attach]5145[/attach]

zhcosin 发表于 2017-9-19 13:51

极限部分的大纲,内容待完善.
[attach]5324[/attach]

zhcosin 发表于 2017-9-19 19:58

补充了复数基础:
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zhcosin 发表于 2017-9-25 18:52

[attach]5375[/attach]

力工 发表于 2017-9-27 08:28

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=23019&ptid=4700]6#[/url] [i]zhcosin[/i] [/b]
出版,出版!

zhcosin 发表于 2017-9-27 11:41

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=23032&ptid=4700]7#[/url] [i]力工[/i] [/b]
个人笔记而已,没有出版价值,微积分领域的权威教材多的是。

zhcosin 发表于 2017-9-30 16:17

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zhcosin 发表于 2018-2-9 16:43

进行到一元函数微分学部分了哎....
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zhcosin 发表于 2019-5-31 17:11

终于开始搞积分部分了,嘿嘿.
[attach]7335[/attach]

facebooker 发表于 2019-7-11 04:01

多谢 开眼界了 虽然看不懂。弱问一句 这个排版看着不错 用什么软件排的啊?

kuing 发表于 2019-7-11 13:09

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=32421&ptid=4700]12#[/url] [i]facebooker[/i] [/b]

就是 `\LaTeX`

业余的业余 发表于 2019-9-16 23:58

学习,加油!

hbghlyj 发表于 2021-5-16 09:33

1#链接失效了{:sad:}

kuing 发表于 2021-5-16 13:15

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=39341&ptid=4700]15#[/url] [i]hbghlyj[/i] [/b]

正如[url=http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=4507&rpid=36994&ordertype=0&page=2#pid36994]上次这帖一样[/url],可以在楼主的 github 里找到:[url]https://github.com/zhcosin/calculus-notes[/url]

hbghlyj 发表于 2021-5-16 15:15

[i=s] 本帖最后由 hbghlyj 于 2021-5-16 15:18 编辑 [/i]

[attach]9675[/attach]
书中Page14的这个证明好像默认了q>0但题干中q应该可以$\le$0吧{:shocked:}
建议改为$\ln{|q|}$

hbghlyj 发表于 2021-5-17 01:47

[i=s] 本帖最后由 hbghlyj 于 2021-5-21 16:04 编辑 [/i]

[attach]9676[/attach]
第15页这里的“a≠1”似乎有些多余
[attach]9677[/attach]
第16页"$+\frac1{2!}z_n^2$"这一项应该是$+\frac{n(n-1)}{2!}z_n^2$吧
[attach]9679[/attach]
第23页定理的叙述用的是$x_n,y_n$但证明中用的是$a_n,b_n${:sweat:}
[attach]9682[/attach]
证明中的不等式方向和题干相反
[attach]9692[/attach]
第54页这里似乎应有链接,但是变为了两个问号{:sad:}

hbghlyj 发表于 2021-5-17 16:37

[i=s] 本帖最后由 hbghlyj 于 2021-5-17 16:39 编辑 [/i]

[url=https://en.wikipedia.org/wiki/Stolz–Cesàro_theorem#Proof_of_the_theorem_for_the_%7F]Stolz定理的证明[/url]标红的步骤不理解{:dizzy:} 能否解释一下
[attach]9680[/attach]

realnumber 发表于 2021-5-21 10:40

[i=s] 本帖最后由 realnumber 于 2021-5-21 10:43 编辑 [/i]

这个会,等比数列求和公式,确实错了,$2ε\frac{\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2^m})}{1-\frac{1}{2}}$

zhcosin 发表于 2022-2-9 17:04

很久很久没动了。。。
[attach]11053[/attach]
[attach]11054[/attach]

zhcosin 发表于 2022-2-9 17:14

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=39345&ptid=4700]17#[/url] [i]hbghlyj[/i] [/b]
多谢指出,我来一一修改下.

zhcosin 发表于 2022-2-9 17:15

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=39375&ptid=4700]20#[/url] [i]hbghlyj[/i] [/b]
笔记中绝大部分内容我都是自行推证的,即便一时半会想不出,宁可空着,实在搞不定了,只有先学习一下书上的证明,再用自己的理解叙述出来,绝对不会照搬的,不然就失去了笔记的意义.

kuing 发表于 2022-2-9 17:18

楼主又有空撸数学了{:lol:}

zhcosin 发表于 2022-2-9 17:23

春节综合征还没过 {:lol:}

hbghlyj 发表于 2022-2-9 19:05

[i=s] 本帖最后由 hbghlyj 于 2022-2-10 19:07 编辑 [/i]

建议楼主也整一个在线版,这样可以被更多人搜索到{:smile:}
例如[url]https://www.jirka.org/ra/html/sec_ift.html[/url]
现在有tex4ht,pandoc,latexml,[url=https://pretextbook.org/]pretext[/url]这些工具也比较方便

或者可以直接发到论坛上,"发帖选项"可以勾选"Html代码"
比如[url=https://cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=262]这帖[/url]
因为页面太长了,我把3个帖子分为1页...这样的话原先的那些链接如果被分到不同的页就失效了,需要手动去找链接位置...但是这个影响不太大,因为大多数的链接都是在章节内引用,所以不会被分到不同的页{:smile:}

zhcosin 发表于 2022-2-10 09:34

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=43064&ptid=4700]28#[/url] [i]hbghlyj[/i] [/b]
这个我也想过,但是工程量会比较大,还是以后再说,先学习要紧。

hbghlyj 发表于 2022-3-3 00:55

Stolz定理

[i=s] 本帖最后由 hbghlyj 于 2022-3-27 00:40 编辑 [/i]

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=39353&ptid=4700]19#[/url] [i]hbghlyj[/i] [/b]
[url=https://courses.maths.ox.ac.uk/pluginfile.php/21952/mod_resource/content/4/Lecture%20Notes%20%28Modified%20on%204%20March%202022%29.pdf#page=64]这份讲义的60页[/url]的证明:
Theorem 2.3.11 (O.Stolz) Suppose $\left(x_{n}\right)$ and $\left(y_{n}\right)$ are two sequences of real numbers such that
(i) $y_{n} \rightarrow \infty$ as $n \rightarrow \infty$,
(ii) $\left(y_{n}\right)$ is a strictly increasing sequence (for large $\left.n\right)$, and
(iii) the limit
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}-x_{n-1}}{y_{n}-y_{n-1}}
$$
exists or tends to $\infty$ or $-\infty$. Then
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{y_{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}-x_{n-1}}{y_{n}-y_{n-1}}
$$
Proof. The proof is similar to the proof of Theorem 2.3.6. Consider the case that $l=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}-x_{n-1}}{y_{n}-y_{n-1}}$ is a number. Then for every $\varepsilon>0$ there is $N$ such that for $n>N$ we have
$$
\left|\frac{x_{n}-x_{n-1}}{y_{n}-y_{n-1}}-l\right|<\frac{\varepsilon}{2} .
$$
Since $\left(y_{n}\right)$ is strictly increasing eventually, so we can choose $N$ big enough so that $y_{k}-$ $y_{k-1}>0$ for all $k>N$ and therefore
$$
-\frac{\varepsilon}{2}\left(y_{k}-y_{k-1}\right)<x_{k}-y_{k-1}-l\left(y_{k}-y_{k-1}\right)<\frac{\varepsilon}{2}\left(y_{k}-y_{k-1}\right)
$$
Adding these inequalities over $k=N+1, \cdots, n$, where $n>N$, we obtain that
$$
-\frac{\varepsilon}{2}\left(y_{n}-y_{N}\right)<x_{n}-y_{N}-l\left(y_{n}-y_{N}\right)<\frac{\varepsilon}{2}\left(y_{n}-y_{N}\right)
$$
which can be written as, since $y_{n}-y_{N}>0$
$$
\left|\frac{x_{n}-x_{N}}{y_{n}-y_{N}}-l\right|<\frac{\varepsilon}{2}
$$
for all $n>N .$ Next we use the identity (similar to that in the proof of Theorem 2.3.6)
$$
\frac{x_{n}}{y_{n}}-l=\frac{x_{N}-l y_{N}}{y_{n}}+\left(1-\frac{y_{N}}{y_{n}}\right)\left(\frac{x_{n}-x_{N}}{y_{n}-y_{N}}-l\right)
$$
so that
$$
\left|\frac{x_{n}}{y_{n}}-l\right|<\left|\frac{x_{N}-l y_{N}}{y_{n}}\right|+\frac{\varepsilon}{2}
$$
for every $n>N$. Since $y_{n} \rightarrow \infty$ so that
$$
\frac{x_{N}-l y_{N}}{y_{n}} \rightarrow 0 \quad \text { as } n \rightarrow \infty
$$
Therefore there is $N_{1}>N$ such that
$$
\left|\frac{x_{N}-l y_{N}}{y_{n}}\right|<\frac{\varepsilon}{2} \quad \text { for } n>N_{1}
$$
and therefore
$$
\left|\frac{x_{n}}{y_{n}}-l\right|<\left|\frac{x_{N}-l y_{N}}{y_{n}}\right|+\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon
$$
for every $n>N_{1}$. By definition
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{y_{n}}=l=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}-x_{n-1}}{y_{n}-y_{n-1}}
$$
and the proof is complete.$\blacksquare$
As as example, if $k$ is a positive integer, then we can show (Exercise) by Stolz's theorem that
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{k}+2^{k}+\cdots+n^{k}}{n^{k+1}}=\frac{1}{k+1}
$$

zhcosin 发表于 2022-3-4 09:38

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=43496&ptid=4700]28#[/url] [i]hbghlyj[/i] [/b]
这个证明貌似在哪看到过,国内的教材

zhcosin 发表于 2022-3-4 20:20

[i=s] 本帖最后由 zhcosin 于 2022-3-4 21:02 编辑 [/i]

利用导函数介值性定理证明拉格朗日中值定理
[attach]11147[/attach]

hbghlyj 发表于 2022-3-4 22:59

分享一个资源[url=https://github.com/wuyudi/good-books/raw/master/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%88%86%E6%9E%90%E4%B9%8B%E8%AF%BE%E7%A8%8B%E8%AE%B2%E4%B9%89Analysis123.pdf]Analysis123.pdf[/url]

hbghlyj 发表于 2022-3-17 23:14

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=43547&ptid=4700]31#[/url] [i]hbghlyj[/i] [/b]
电子版:
[url]https://www.bananaspace.org/wiki/%E8%AE%B2%E4%B9%89:%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%88%86%E6%9E%90[/url]

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