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其妙 发表于 2017-4-8 23:04

求函数$f(x)=(1-\dfrac1x)\ln x$的$n$阶导数

如题

kuing 发表于 2017-4-9 00:06

也没啥特别的吧,照代$n$阶导数的莱布尼茨公式去算就是了,最终结果也不是太好看(没算错的话得带个调和级数),
出这题莫非和你上次的这题 [url]http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=4492[/url] 有关系?

PS、贴图我删掉了,这里绝对没人不知道n阶导数是什么。

其妙 发表于 2017-4-9 21:48

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=20673&ptid=4526]2#[/url] [i]kuing[/i] [/b]
没什么大的关系。答案写成递推公式也可以,有没有过程?

kuing 发表于 2017-4-9 22:21

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=20690&ptid=4526]3#[/url] [i]其妙[/i] [/b]

那出这题是啥用意啊,毕竟过程毫无技术含量,纯粹套公式化简
\begin{align*}
\left( \frac{\ln x}x \right)^{(n)}
&=\sum_{k=0}^nC_n^k(x^{-1})^{(n-k)}(\ln x)^{(k)} \\
&=(-1)^n\frac{n!}{x^{n+1}}\ln x+\sum_{k=1}^n \frac{n!}{k!(n-k)!} (-1)^{n-k}\frac{(n-k)!}{x^{n-k+1}} (-1)^{k-1}\frac{(k-1)!}{x^k} \\
&=(-1)^n\frac{n!}{x^{n+1}}\ln x+(-1)^{n-1}n!\sum_{k=1}^n\frac1k\cdot \frac1{x^{n+1}},
\end{align*}
所以
\begin{align*}
f^{(n)}(x)&=(\ln x)^{(n)}-\left( \frac{\ln x}x \right)^{(n)} \\
&=(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{x^n}
-(-1)^n\frac{n!}{x^{n+1}}\ln x-(-1)^{n-1}n!\sum_{k=1}^n\frac1k\cdot \frac1{x^{n+1}} \\
&=\frac{(-1)^{n-1}n!}{x^{n+1}}\left( \frac xn+\ln x-\sum_{k=1}^n\frac1k \right).
\end{align*}

其妙 发表于 2017-4-9 23:09

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=20693&ptid=4526]4#[/url] [i]kuing[/i] [/b]
[img]http://kuing.orzweb.net/attachments/month_1309/1309021709b7e280a8f376bd26.gif[/img][img]http://kuing.orzweb.net/attachments/month_1309/1309021709b7e280a8f376bd26.gif[/img][img]http://kuing.orzweb.net/attachments/month_1309/1309021709b7e280a8f376bd26.gif[/img]
对你来说是毫无技术含量,[img]http://kuing.orzweb.net/attachments/month_1309/1309021709bf9f48459392402d.gif[/img]

其妙 发表于 2017-4-9 23:25

不过是这样的题目才有点意义[img]http://kuing.orzweb.net/attachments/month_1309/1309021709877fc4492a34cda0.gif[/img]:
[attach]4844[/attach]

isee 发表于 2017-4-12 17:51

[quote]不过是这样的题目才有点意义:
[size=2][color=#999999]其妙 发表于 2017-4-9 23:25[/color] [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=20695&ptid=4526][img]http://kuing.orzweb.net/images/common/back.gif[/img][/url][/size][/quote]


    你说有点意思,学生就要吐了。

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