悠闲数学娱乐论坛(第2版) » 初等数学讨论 » 又一道绝对值二次函数的最大值问题证明

敬畏数学 发表于 2016-12-23 16:03

又一道绝对值二次函数的最大值问题证明

[i=s] 本帖最后由 敬畏数学 于 2018-1-15 09:54 编辑 [/i]

$f（x）=x^2+ax+b,M(a,b)$为$|f（x）|在[-1，1]$的最大值，证明：
（1）当$|a|≥2时，M(a,b)≥2$
（2）当$M(a,b)≤2时，求|a|+|b|$的最大值
第一问用反证法可以。问题是第二问，应该也是$f（-1），f（1）$，想借助$f（-1），f（1）$表示a，b但最后放缩不到，请教！

kuing 发表于 2016-12-23 16:39

见 [url]http://url.cn/42nSNvm[/url]

敬畏数学 发表于 2016-12-24 12:20

[i=s] 本帖最后由 敬畏数学 于 2018-1-15 09:52 编辑 [/i]

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=19712&ptid=4368]2#[/url] [i]kuing[/i] [/b]
OK！那个很重要的不等式很长时间没有用生疏了，其实放缩时只有这样，同时出现了$|x+y|及|x-y|$。{:handshake:}谢谢。。。

敬畏数学 发表于 2018-1-14 15:04

[i=s] 本帖最后由 敬畏数学 于 2018-1-14 15:10 编辑 [/i]

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=19710&ptid=4368]1#[/url] [i]敬畏数学[/i] [/b]
其实，抓住在区端点取等，这类问题难度可控了。至于第二小问，把a,b用端点表示后，把端点的约束不等式表示出来就是典型的线性规划问题。也可以直接讨论两端点大小去绝对值。两法本质相近。但是直接放缩等号不可取，所以失效！那个两数最大值的恒等表示简洁。

游客 发表于 2018-1-14 16:28

这个是浙江的一个考题，少打个绝对值符号。
直接用分类讨论也可以做，用函数与区间的相对运动也可以做。
PS：用区间相对运动做没几句话完事，不知道阅卷给不给分。。。

敬畏数学 发表于 2018-1-15 09:41

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=24936&ptid=4368]5#[/url] [i]游客[/i] [/b]
愿闻其详！

敬畏数学 发表于 2018-1-15 09:59

出现|a|+|b|这类绝对值不等式这样处理？如果是|a|+|b|+|c|如何操作？四个呢？。。。。。

游客 发表于 2018-4-18 14:58

[i=s] 本帖最后由 游客 于 2018-4-18 15:09 编辑 [/i]

lal+lbl+lcl+ldl=max{la±bl+lcl+ldl}=max{la±b±cl+ldl}=max{la±b±c±dl}=...

(2)   lal+lbl=max{lb±al}=max{lf(±1)-1l}∈[0,3].
(1)   lal≥2→△y≥4→M≥2.

这样做，考试给分么？

敬畏数学 发表于 2018-4-18 15:13

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=26272&ptid=4368]8#[/url] [i]游客[/i] [/b]
精准解法，还有不胜之理！

青青子衿 发表于 2020-11-2 00:45

【绝对值】【二次函数】
Mark一下
[url]https://artofproblemsolving.com/community/c6h582968[/url]

kuing 发表于 2020-11-2 01:37

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=37427&ptid=4368]10#[/url] [i]青青子衿[/i] [/b]

这个我在《憋间》2011 年第 5 期（总第 5 期）P.12 下方的定理 2.2.5 撸过呢{:tongue:}

查看完整版本: 又一道绝对值二次函数的最大值问题证明