求$\frac{x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}}{x+y+z}$最大值
如图，谢谢！ [attach]4150[/attach] 嗯，也就三元能玩，四元或以上如无意外涉及高次方程 [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=17751&ptid=4064]2#[/url] [i]游客[/i] [/b]谢谢！我还想知道你是怎么求解这个方程组的？ 也来一种方法：
先看三元的，待定正数 $m$，使得
\begin{align*}
m(x+y+z)&=x+(m-1)x+my+mz \\
&\geqslant x+2\sqrt{(m-1)x\cdot my}+mz \\
&=x+\sqrt{xy}+2\cdot \frac12\bigl(2\sqrt{(m-1)m}-1\bigr)\sqrt{xy}+mz \\
&\geqslant x+\sqrt{xy}+3\sqrt[3]{\frac1{2^2}\bigl(2\sqrt{(m-1)m}-1\bigr)^2xy\cdot mz}
\end{align*}
要能用均值，得满足 $m>1$, $2\sqrt{(m-1)m}>1$，然后自然是要令
\[3\sqrt[3]{\frac1{2^2}\bigl(2\sqrt{(m-1)m}-1\bigr)^2m}=1,\]
解之得出 $m=4/3$，取等条件 $(m-1)x=my$ 且 $\bigl(2\sqrt{(m-1)m}-1\bigr)\sqrt{xy}=2mz$，有非零解，所以 $4/3$ 就是最佳系数。
再来试四元，承接上面，有
\begin{align*}
m(x+y+z+w)&\geqslant x+\sqrt{xy}+3\sqrt[3]{\frac1{2^2}\bigl(2\sqrt{(m-1)m}-1\bigr)^2xy\cdot mz}+mw\\
&=x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}+3\cdot \frac13\left( 3\sqrt[3]{\frac1{2^2}\bigl(2\sqrt{(m-1)m}-1\bigr)^2m}-1 \right)\sqrt[3]{xyz}+mw\\
&\geqslant x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}+4\sqrt[4]{\frac1{3^3}\left( 3\sqrt[3]{\frac1{2^2}\bigl(2\sqrt{(m-1)m}-1\bigr)^2m}-1 \right)^3xyz\cdot mw},
\end{align*}
需要 $m>1$, $2\sqrt{(m-1)m}>1$, $3\sqrt[3]{\frac1{2^2}\bigl(2\sqrt{(m-1)m}-1\bigr)^2m}>1$，然后令
\[4\sqrt[4]{\frac1{3^3}\left( 3\sqrt[3]{\frac1{2^2}\bigl(2\sqrt{(m-1)m}-1\bigr)^2m}-1 \right)^3m}=1,\]
解出来的就是最佳系数，然而解不出精确解来，其数值解约为 $1.420844$。
五元，最后要解的就是
\[5\sqrt[5]{\frac1{4^4}\left( 4\sqrt[4]{\frac1{3^3}\left( 3\sqrt[3]{\frac1{2^2}\bigl(2\sqrt{(m-1)m}-1\bigr)^2m}-1 \right)^3m}-1 \right)^4m}=1,\]
解的近似值约 $1.486$。
方程的规律很清楚，然并卵…… [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=17769&ptid=4064]5#[/url] [i]kuing[/i] [/b]
这个证法好厉害{:lol:}，避免了求解方程组，让人眼前一亮！谢谢大神！ [attach]4157[/attach] 一个不等式arqady的证明
[url]http://blog.sina.com.cn/s/blog_4c1131020101ani1.html[/url]
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