拉普拉斯变换的问题
我看了拉氏变换表，发现没有$\ln x$的拉氏变换。我想不出来，去问网友。
网友说是这个：$$-\frac{\gamma +\ln t}{t}$$
不知为何，请各位解释一下。
（\gamma 是欧拉常数） [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=16446&ptid=3796]1#[/url] [i]血狼王[/i] [/b]
早年研究过类似的问题，当时是求$\Gamma'(1)$的值
\[\int_0^{+\infty}e^{-xt}\ln(x)dx\]
\[=\frac{1}{t}\int_0^{+\infty}e^{-xt}[\ln(xt)-\ln(t)]d(xt)\]
\[=\frac{1}{t}[\ln(t)+\int_0^{+\infty}e^{-s}\ln(s)ds]\]
其中
\[\int_0^{+\infty}e^{-s}\ln(s)ds=-e^{-s}\ln(s)|^{+\infty}_0+\int_0^{+\infty}\frac{e^{-s}}{s}ds\]
另一方面有
\[\gamma=\lim_{n\to\infty}(\sum_{i=1}^n\frac{1}{i}-\ln(n))=\lim_{n\to\infty}(\int_0^1\sum_{i=1}^nx^{i-1}dx-\int_1^n\frac{1}{x}dx)\]
\[=\lim_{n\to\infty}(\int_0^1\frac{1-x^n}{1-x}dx-\int_1^n\frac{1}{x}dx)\]
代换$y=n(1-x)$得
\[=\lim_{n\to\infty}(\int^n_0[1-(1-\frac{y}{n})^n]\frac{dy}{y}-\int_1^n\frac{1}{x}dx)\]
\[=\lim_{n\to\infty}(\int^1_0[1-(1-\frac{x}{n})^n]\frac{dx}{x}-\int_1^n(1-\frac{x}{n})^n\frac{dx}{x})\]
\[=\lim_{n\to\infty}(\int_0^1\frac{dx}{x}-\int_0^n(1-\frac{x}{n})^n\frac{dx}{x})\]
\[=\int_0^1\frac{dx}{x}-\int_0^{+\infty}\frac{e^{-x}}{x}dx\]
而后有
\[\int_0^{+\infty}e^{-x}\ln(x)dx=-e^{-x}\ln(x)|^{+\infty}_0+\int_0^1\frac{dx}{x}-\gamma\]
\[=-e^{-x}\ln(x)|^{+\infty}_0+\ln(x)|^1_0-\gamma\]
\[=\ln(x)(1-e^{-x})|^1_0-e^{-x}\ln(x)|^{+\infty}_1-\gamma=-\gamma\] [i=s] 本帖最后由 青青子衿 于 2018-7-31 15:05 编辑 [/i]
[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=16446&ptid=3796]1#[/url] [i]血狼王[/i] [/b]
[quote]我看了拉氏变换表，发现没有$\ln x$的拉氏变换。
我想不出来，去问网友。
[size=2][color=#999999]血狼王 发表于 2015-12-30 13:45[/color] [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=16446&ptid=3796][img]http://kuing.orzweb.net/images/common/back.gif[/img][/url][/size][/quote]
你可以看看这本，这本上面的拉普拉斯变换表很全
Table of integrals, series, and products-Academic Press.pdf [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=27686&ptid=3796]3#[/url] [i]青青子衿[/i] [/b]
多谢
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